05效用

4、效用本章要点：1.效用和效用函数2.构造效用函数3.边际效用和边际替代率1、效用和效用函数现代消费理论使用偏好的概念来研究消费者的行为，而效用是描述消费者偏好的一种方法。效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字的方法，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字。消费者的偏好有两种描述方法，一种是无差异曲线（几何方法），另一种是效用函数（数学方法）。在现代经济学中，效用和效用函数仅仅被看作是描述偏好的一种数学方法。关于效用的不同观点基数效用论：用绝对值来度量效用。序数效用论：关注于数值的相对排序关系。基数效用19世纪末、20世纪初，西方经济学家普遍使用基数效用的概念。基数效用的优点：不仅可以进行比较，还可以进行加总、求和等数学运算。基数效用的缺陷：主观价值的测量难题我们之所以利用数字，无非要使一种说明起来比较困难、而又是历来缺乏研究的心理领域中的现象，能更容易地被加以论证罢了。——门格尔效用的绝对值不能测量。——帕累托对于构造需求函数而言，核心问题是消费品之间的选择，因此可以通过观察人们的主观偏好特征来排列商品的效用等级。而基数效用的特征（便于加总、求和）对此则完全是多余的。序数效用就可以胜任。序数效用序数只表示顺序、等级，本身的数字量是没有任何意义的。现代经济学主要以序数效用论作为需求理论的基础。“既然基数效用并不是描述选择行为所必需的，而且也没有任何令人信服的方法来指派基数效用，所以我们将完全坚持序数效用的分析框架。”——范里安消费者对各种可行消费方案可以排出个好坏次序，第一好、第二好、第三好……即不论他能否说出满足程度到底有多少，但总可以说出“这种消费比那种消费更好一些，或较差一些，或没有什么差异”。消费者对消费方案作出的这种评价和比较，就是消费者偏好。当然，这种评价不具有基数效用那样的绝对意义。德布鲁（Debreu，1954）证明，仅仅依赖偏好关系，就可以很好地定义效用概念，并且推导出了新古典的消费需求理论。从此，效用不再是消费问题的原点，而成为描述偏好、乃至于消费者选择行为的一种方法。消费者的偏好则构成消费者选择行为的出发点，效用成了描述消费者偏好的一种方法。效用函数一个效用函数对于每一组可能的消费束赋予一个数字，使得更受偏好的消费束得到更大的数字。212121212121212121212121y,yu~x,xuy,y~x,xy,yux,xuy,yx,xy,yux,xuy,yx,x例如，如果有U(X)=6和U(Y)=2，这时，消费束X严格偏好于消费束Y。但不能说三倍的消费束Y与消费束X一样好。效用函数不是唯一的效用函数唯一重要的特征是它对消费束所进行的排序。一般存在着多种为消费束排序的方法。因此，对于一个效用关系而言，效用函数不唯一。假定U(x1,x2)=x1x2代表一种效用关系。考虑消费束(4,1),（2,3)和(2,2)。U(2,3)＝6＞U(4,1)＝U(2,2)＝4;即(2,3)﹥(4,1)～(2,2)。定义V＝U2则V(x1,x2)＝x12x22并且V(2,3)＝36＞V(4,1)＝V(2,2)＝16因此，同样有：(2,3)﹥(4,1)～(2,2)V和U代表同一种排列顺序，因此，代表同一种偏好关系。定义W＝2U＋10.则W(x1,x2)＝2x1x2＋10并且W(2,3)＝22＞W(4,1)＝W(2,2)＝18因此，同样有：(2,3)﹥(4,1)～(2,2)W和U，V代表同一种排序，从而代表同一种偏好关系。效用函数的单调变换如果u(x1,x2)是代表某一偏好的效用函数，且是一个递增的函数，那么f(u(x1,x2))代表了同样的偏好关系。212121212121212121212121y,yu~x,xu)y,y(uf~)x,x(ufy,yux,xu)y,y(uf)x,x(ufy,yux,xu)y,y(uf)x,x(uf因此，任何效用函数的正单调变换后的函数是代表原偏好关系的一个效用函数。单调变化的例子：对原效用函数乘以一个正数，对原效用函数加上任意数，对原效用函数取奇次幂等。无差异曲线2x1x画一条对顶线，用沿这条线测度的每条无差异曲线离原点的距离给每条无差异曲线标记数字。12342、构造效用函数如果偏好是单调的，这条经过原点的直线就一定与每条无差异曲线只相交一次。因此，每个消费束只能标记一个数字，而且，处在较高位置的无差异曲线上的那些消费束将标上较大的数字。从效用函数到无差异曲线从几何学上讲，效用函数是给无差异曲线标记数字的方法，较高效用的无差异曲线得到较大的数字。因此，从效用函数到无差异曲线很简单，只需画出效用函数的等值曲线就可以了！1212(,)uxxxxkK=3K=22x1xK=1x1x2u0u1u2I1I2效用函数的几个例子1.完全替代：u(x1,x2)=ax1+bx2.2.完全互补：u(x1,x2)=min{ax1,bx2}3.拟线性函数：u(x1,x2)=v(x1)+x24.柯布—道格拉斯函数：u(x1,x2)=x1cx2d完全替代55991313x1x2x1+x2=5x1+x2=9x1+x2=13全部是线性的平行线重要的是商品的总数量，因此u(x1,x2)=x1+x22121212122121x12x12x,xuxxx,xuxxx,xuu(x1,x2)=x1+x2并不是唯一的表示完全替代的效用函数，它的任何其他单调变换函数也能够表示完全替代偏好，例如：u(x1,x2)=x1+x2表示替代比例是1׃1u(x1,x2)=2x1+x2表示替代比例是1:2一般的，u(x1,x2)=ax1+bx2表示替代比例是b:a，无差异曲线的斜率等于-a/b。效用函数u(x1,x2)=2x1+x2的斜率是-2.完全互补x2x145omin{x1,x2}=8358358min{x1,x2}=5min{x1,x2}=3全部是L型的，其顶点在从原点出发的一条射线上重要的是最少的那一种商品决定了你的效用！因此：u(x1,x2)=min{x1,x2}因此，效用函数u(x1,x2)=min{x1,x2}表示完全互补的偏好。它表示消费的比例是1:1。一般的，完全互补的效用函数可写作：u(x1,x2)=min{ax1,bx2}；表示消费的比例是a:b。例如，对于每杯茶总是放两匙糖的消费者而言，如果x1表示可以得到的茶的杯数，x2表示可以得到的糖的匙数，有2x1=x2，即效用函数为min{2x1,x2}，效用函数u(x1,x2)=min{2x1,x2}表示消费的比例是1:2。x2（糖）x1（茶）min{x1,0.5x2}=2122min{x1,0.5x2}=14（1，2）（2，4）X1=1/2x2拟线性偏好x2x1每一条曲线是对其他曲线的垂直平移。v(x1)+x2=k1v(x1)+x2=k2v(x1)+x2=k3形式为u(x1,x2)=v(x1)+x2的效用函数仅仅对于x2是线性的，对于x1却是非线性的，因此，称为拟线性效用函数。柯布—道格拉斯效用函数任何形式为U(x1,x2)=x1cx2d（c0，d0）的效用函数被称为柯布—道格拉斯效用函数。例如U(x1,x2)=x11/2x21/2(c=d=1/2)V(x1,x2)=x1x23(c=1,d=3)柯布—道格拉斯无差异曲线x2x1当然，柯布-道格拉斯效用函数的单调变换也表示同一个偏好。常见的两个例子：（1）v(x1,x2)=ln（x1cx2d）=clnx1+dlnx2（2）v(x1,x2)=x1ax21-a3、边际效用和边际替代率商品i的边际效用指当其消费数量改变，所引发的总效用量改变量和消费数量改变量的比例；即：11xMUUiiixUxUMU12121111x)x,x(u)x,xx(uxUMU22122122x)x,x(u)xx,x(uxUMU22xMUU如：与商品1的消费的微小变动联系在一起的效用的变动为：与商品1的消费的微小变动联系在一起的效用的变动为：举例2211222221111xx2xUMUxx21xUMU,:则如果效用函数为22211xxU边际效用和边际替代率边际替代率度量的是在给定消费束上的无差异曲线的斜率：它可以被解释为消费者恰好愿意用商品2替代商品1的比率。如果效用保持不变，两种商品消费的变化分别为△x1,△x2，即沿着无差异曲线移动时消费的变化，则一定有：得到无差异曲线的斜率：0UxMUxMU22112112MUMUxxMRS举例假定U(x1,x2)=x1x2。则122211xxUMUxxUMU122112xxMUMUxxMRS所以边际效用和边际替代率：举例12xxMRSMRS(1,8)=-8/1=-8MRS(6,6)=-6/6=-1x1x28616U=8U=36U(x1,x2)=x1x2;单调变换和边际替代率对于效用函数U(x1,x2)=x1x2，进行单调变换，边际替代率发生了怎样的变化?假设V=U2;即V(x1,x2)=x12x22。此时效用函数V和U的边际替代率是一样的！MRSVxVxxxxxxx//121221222122单调变换和边际替代率212121x/Ux/Ux/UU/fx/UU/fx/Vx/VMRS所以，一个正的单调变换不改变边际替代率MRS。假设我们对一个效用函数作单调变换，如v(x1,x2)=f(u(x1,x2))