江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试(理科数学)(含答案)

12013届高三下学期5月考前适应性考试数学2013．05全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{1,2},{2,3}AB，则AB▲．2．若复数21(4),()2zaiaRa是实数，则a▲．3．已知某一组数据8,9,11,12,x，若这组数据的平均数为10，则其方差为▲．若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标，则点P在直线4xy上的概率为▲．4．运行如图语句，则输出的结果T＝▲．5．若抛物线28yx的焦点与双曲线221xym的右焦点重合，则双曲线的离心率为▲．6．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为223，则该圆锥的侧面积为▲．7．将函数()2sin(),(0)3fxx的图象向左平移3个单位得到函数()ygx的图象，若()ygx在[,]64上为增函数，则最大值为▲．8．已知O是坐标原点，点(1,1)A，若点(,)Mxy为平面区域212xyxy上的一个动点，则OAOM的取值范围是▲．9．数列{}na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公T←1I←3WhileI50T←T+II←I+2EndWhilePrintT2比不为1的等比数列，则{}na的通项公式是▲．10．若对任意xR，不等式23324xaxx恒成立，则实数a的范围▲．11．函数4log,0()cos,0xxfxxx的图象上关于原点O对称的点有▲．对.12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是椭圆221259xy上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且72OAOP，则点P横坐标的最大值为▲．13．从x轴上一点A分别向函数3()fxx与函数332()||gxxx引不是水平方向的切线1l和2l，两切线1l、2l分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记△OAB的面积为1S，△OAC的面积为2S，则1S+2S的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知函数()23sinsin()2cos()cos22fxxxxx.（1）求)(xf的最小正周期；（2）在ABC中，cba,,分别是A、B、C的对边，若4)(Af，1b，ABC的面积为23，求a的值.16．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；3（2）若3AD，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥1PABC的体积。17．（本小题满分15分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元，其中用于风景区改造为y亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a亿元，至多b亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。（1）若2a，2.5b，请你分析能否采用函数模型y＝31(416)100xx作为生态环境改造投资方案；（2）若a、b取正整数，并用函数模型y＝31(416)100xx作为生态环境改造投资方案，请你求出a、b的取值．18．（本小题满分15分）椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为32，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是,BD．（1）若FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；（2）若,,AFB三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．19．（本小题满分16分）已知函数()lnfxxx，()lnagxxx，（0a）．4（1）求函数()gx的极值；（2）已知10x，函数11()()()fxfxhxxx，1(,)xx，判断并证明()hx的单调性；（3）设120xx，试比较12()2xxf与121[()()]2fxfx，并加以证明．20．（本小题满分16分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,naaa为n(2,3,4,)n阶“期待数列”：①1230naaaa；②1231naaaa．（1）若等比数列{}na为2k(*kN)阶“期待数列”，求公比q；（2）若一个等差数列{}na既是2k(*kN)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{}ia的前k项和为(1,2,3,,)kSkn：（ⅰ）求证：1||2kS；（ⅱ）若存在{1,2,3,,}mn使12mS，试问数列{}iS能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效．521．B选修4-2：矩阵与变换（本题满分10分）已知矩阵2101A，向量102b．求向量a，使得2Aab．21．C选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为22,14,xtyt(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22sin()4.判断直线l和圆C的位置关系.22．（本题满分10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响。试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．23．（本题满分10分）（1）设1x，试比较ln(1)x与x的大小；（2）是否存在常数Na，使得111(1)1nkkaank对任意大于1的自然数n都成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。6参考答案第一部分2013．051．1,2,32．23．24．1125．6256．2337．38．279．[0,2]10．22nann11．11a12．313．15提示：设(1)OPOA，由272OAOPOA，得272OA，2272PAAAAxxxxy=22729925AAAxxx=27216925AAxx=7291625AAxx，研究点P横坐标的最大值，仅考虑05Ax，72151225Px（当且仅当154Ax时取“=”）．14．8提示：31(),(0)gxxx，设两切点分别为3(,)mm，31(,)nn，（0m，0n），1l：323()ymmxm，即2332ymxm，令0x，得32Bym；令0y，得23xm．2l：3413()yxnnn，即4334yxnn，令0x，得34Cyn；令0y，得43xn．依题意，2433mn，得2mn，()fn1S+2S=1(||||)2BCAyyx=33144(2)23mnn=4281(4)3nn，'()fn=3382(16)3nn，可得当22n时，()fn有最小值8．15．解：（1）2()3sin22cos2fxxx3sin2cos232sin(2)36xxx················4分.22T····························6分（2）由4)(Af，43)62sin(2)(AAf，.21)62sin(A又ABCA为的内角，613626A，86562A，.3A·······················8分23ABCS，1b，23sin21Abc，2c············11分32121241cos2222Abcba，.3a·········14分16．证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC，∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1，又∵BC平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A1····································7分(2)由等积变换得11PABCAPBCVV，在直角三角形1AAB中，由射影定理(12BABDAB)知321AA，∵1AAPBC平面，∴三棱锥的高为123AA························10分又∵底面积1PBCS···························12分∴11PABCAPBCVV=112333PBCSAA··················14分法二：连接CD，取CD中点Q，连接PQ，∵P为AC中点，1//,2PQADPQAD3AD,32PQ,·························9分由（1）AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC，∴PQ为三棱锥P-A1BC的高，······················11分由（1）BC⊥平面ABB1A11BCBA，PBC4S············12分1P-ABC233V，····························14分17．解：（1）∵21'(34)0100yx，∴函数y＝31(416)100xx是增函数，满足条件①。············3分9设2116()(4)100ygxxxx，则222116(2)(24)'()(2)10050xxxgxxxx，令'()0gx，得2x。当2x时，'()0gx，()gx在(,2)上是减函数；当2x时，'()0gx，()gx在(2,)上是增函数，又2a，2.5b，即[2,2.5]x，()gx在[2,2.5]上是增函数，∴当2x时，()gx有最小值0.16=16%15%，当2.5x时，()gx有最大值0.1665=16.65%22%,∴能采用函数模型y＝31(416)100xx作为生态环境改造投资方案。·····9分（2）由(1)知2116()(4)100ygxxxx，依题意，当[,]xab，a、*bN时，15%()22%gx恒成立；下面求21615422xx的正整数解。令216()4hxxx，·························12分由(1)知*xN，()hx在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数，又由（1）知，在0x时，min()(2)gxg，且(2)g=16%∈[15%，22%]，2x合条件，经枚举(1)g，(3)g∈[15%，22%]，而(4)g[15%，22%]，可得1x或2x或3x，由()gx单调性知1,2ab或1,3ab或2,3ab均合题意。·