江苏省泰州中学2015-2016学年高二上学期第二次质量检测(理)数学试题

江苏省泰州中学高二年级第二次质量检测数学（理）试卷2015.12第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“xR，210xx”的否定是________．2.复数131ii的共轭复数是________．3.若复数aizi（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a________．4.命题“若0a，则0ab”的逆命题是________命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5.用反证法证明命题：“若,abN，ab能被3整除，那么,ab中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．6.曲线2yx在点(1,1)处的切线方程为________．7.如果2:2,:4pxqx，那么p是q的________．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8.设,,xyz都是正数，则三个数111,,xyzyzx的值说法正确的是________．①都小于2②至少有一个不大于2③至少有一个不小于2④都大于29.若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线34120xy上，则抛物线方程为_________．11.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C，若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为________．12.一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．13.设函数()(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是________．14.已知点(1,1),,ABC是抛物线2yx上三点，若090ABC，则AC的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15.（本小题满分14分）已知:12,:(1)()0pxqxxm．（1）若4m，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16.（本小题满分14分）椭圆22122:1(0)xyCabab过点3(1,)2P，离心率12e，A为椭圆1C上一点，B为抛物线232y上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆1C的方程；（2）求直线AB的方程．17.在数列na中，1131,23nnnaaaa，求2a、3a、4a的值，由此猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分15分）已知ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，若111,,abc成等差数列．（1）比较ba与cb的大小，并证明你的结论；（2）求证：B不可能是钝角．19.（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)xyTabab的离心率为32，连结椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为1k的直线1l与椭圆交于不同的两点,AB，其中A点坐标为(,0)a．（1）求椭圆T的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当10k时，求MAMB的最大值；（3）设P为椭圆T上任意一点，又设过点(,0)Ca，且斜率为2k的直线2l与直线1l相交于点N，若12154kk，求线段PN的最小值．20.（本小题满分16分）设已知函数22()2()ln22fxxaxxaxaa，其中0a．（1）设()gx是()fx的导函数，评论()gx的单调性；（2）证明：存在(0,1)a，使得()0fx在区间(1,)内恒成立，且()0fx在(1,)内有唯一解．参考答案一、填空题（14*5分）1．2,10xRxx2.2i3.-14.假5.,ab都不能被3整除6.21yx7.充分不必要8.1(,)49.221612yxxy或10.911.32yx12.22325()24xy13.814.2二、解答题15.（14分）（1）1,1；（2）3,116.（14分）解：（1）据题意得：22191412abca又222abc，解得2243ab，所以椭圆方程为22143xy．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）设A点坐标为00(,)xy，则B点坐标为00(2,2)xy，分别代入椭圆和抛物线方程得22002001433(2)(2)2xyyx消去0y并整理得：20033120xx，所以004333xx或，当03x时，032y；当0433x时，0y无解，所以直线AB的方程为12yx，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分17．（15分）解：123413333,,,26789aaaa，猜想35nan，下面用数学归纳法证明：①
当1n时，131152a，猜想成立；②
假设当(1,)nkkkN时猜想成立，即35kak.则当1nk时，13333533(1)535kkkakaakk，所以当1nk时猜想也成立，由①②知，对nN，35nan都成立．18.（15分）（1）解：大小关系为bcaa，证明如下：要证bcaa，只需证bcab，由题意知a、b、0c，只需证2bac，∵111,,abc成等差数列，∴21112bacac，∴2bac，又a、b、c任意两边均不相等，∴2bac成立．故所得大小关系正确．（2）证明：假设B是钝角，则cos0B，而222222cos0222acbacbacbBacacac．这与cos0B矛盾，故假设不成立，∴B不可能是钝角．19.（16分）解：（1）由32ca得2234ac，又222abc，∴2ab,又由题意得12242ab，即2ab，解得2,1ab，故椭圆T的方程为2214xy，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分解得2x或21212814kxk，则2112211284(,)1414kkBkk，因而线段AB中点坐标为211221182(,)1414kkkk，∵10k，则线段AB的垂直平分线为21122111281()1414kkyxkkk，设点M坐标为0(0,)y，令0x得1021614kyk，则00(2,)(,)BBMAMByxyy422211111122222222111116464(16151)722(28)()4114141414(14)(14)kkkkkkkkkkkkk，∵欲求MAMB的最大值，故可令21720kt，则212221724949492225(14)240225(14)161202161207kttktttt，故当154t，即116114k时，MAMB取最大值492894(1)24060，．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）直线2l方程为2(2)ykx，联立1(2)ykx得121221212()4(,)kkkkNkkkk，由12154kk得122145kkkk，∴12121221212121212()42()53NNkkkkkkkkxykkkkkkkk故点N在定直线3xy上运动．设与3xy平行的直线为yxb，将yxb代入2214xy化简整理得2258440xbxb，由22(8)45(44)0bb得5b，结合图形可知线段PN的最小值即为5yx与3xy之间的距离，故线段PN的最小值为：53321022，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20．（16分）（1）由已知，函数()fx的定义域为(0,)，()()222ln2(1)agxfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaagxxxx，当104a时，()gx在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，()gx在区间(0,)上单调递增．（2）由()222ln2(1)0afxxaxx，解得11ln1xxax，令221111ln1ln1ln()2()ln2()111xxxxxxxxxxxxx，则211(2)2(1)10,()2()011eeeeee，故存在0(1,)xe，使得0()0x．令000101ln,()1ln(1)1xxauxxxxx，由1()10uxx知，函数()ux在区间(1,)上单调递增．所以001110()(1)()20111111uxuueeaxee，即0(0,1)a，当0aa时，有0()0fx，00()()0fxx，由（1）知，函数0()fx在区间(1,)上单调递增，故当0(1,)xx时，有0()0fx，从而0()()0fxfx；当0(,)xx时，有0()0fx，从而0()()0fxfx；所以，当(1,)x时，()0fx，综上所述，存在(0,1)a，使得()0fx在区间(1,)内恒成立，且()0fx在(1,)内有唯一解．