优质课《复数代数形式的四则运算》

高二数学备课组张鹏升3.2复数代数形式的四则运算复平面复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)复平面内的向量x实轴y虚轴obaZ(a,b)（数）（形）一一对应z=a+bi(a,)OZbuuur1.复数的模等于向量的模：22||zabiab2.相等的向量表示同一个复数.复习回顾：复数的几何意义1.复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律,以及复数加、减运算的几何意义.（重点）2.复数减法、除法的运算法则.（难点）3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.学习目标：我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即:两个复数相加就是实部与实部,虚部与虚部分别相加.1.复数的加法说明:（1）当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）两个复数的和仍然是一个复数.(结合律)对任意z1，z2，z3C,有z1+z2=z2+z1(交换律)（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）复数的加法运算律xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ=(a+c,b+d)符合向量加法的平行四边形法则.3.复数加法运算的几何意义z2=c+diz1=a+biz1=a+bi，z2=c+di探究一：复数加法的几何意义1.代数式：z1=a+bi，z2=c+di，且z1+z=z2，求复数zz=x+yi，z1+z=z2(a+x)+(b+y)i=c+di设(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i所以z=(c-a)+(d-b)i复数的减法法则探究二：如何理解复数的减法？2.复数的减法a+x=cb+y=dxcaydbxoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.探究三：类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义.复数z2－z1复平面中点Z1与点Z2间的距离1.|z1-z2|表示：_______________________.已知两复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)Z1(a，b)oxyZ2(c，d)2.|z+(1+2i)|表示：________________________________.点(-1，-2)的距离点Z(对应复数z)到当堂检测：例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i例题讲解：课堂检测：计算：（1）(2+4i)+(3-4i)（2）5-(3+2i)（3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)（4）(2-i)-(2+3i)+4i我们规定，复数乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的乘积为：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i注意：两个复数的积是一个确定的复数.3.复数的乘法对任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1(交换律)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3(分配律)复数的乘法运算律例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1例2计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2.解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.实数的共轭复数是它本身.思考：若z1，z2是共轭复数，那么（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（２）z1·z2是一个怎样的数？记法：复数z=a+bi的共轭复数记作zz=a-bi4.共轭复数的定义解：⑴作图yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,0)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o得出结论：在复平面内，共轭复数z1,z2所对应的点关于实轴对称.⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi则z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2+b2结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.(i)(i)i()()iicdxyabcxdydxcyab因为所以i(i)()i(i0()()iiiii)ii.满足的复数叫做复数除以复数的记或商作：cdabcdabxyxyababcddcdc探究四：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法的法则.所以cxdyadxcyb2222acbdxcdbcadycd复数除法的法则是:2222(i)(i)i(i0).acbdbcadabcdcdcdcd方法:在进行复数除法运算时,通常先把i(i)(i),ii,..写成的形式再把分子与分母都乘以分母的共轭复数化简后就可得到上面的结果这与作根式除法时的处理是很类似的ababcdcdcd在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.(12(.3)34)ii算例计22(12)(34)1234(12)(34)3864(34)(34)3451012.2555iiiiiiiiiiii解先写成分式形式然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式当堂检测：计算：（1）(7-6i)(-3i)（2）(3+4i)(-2-3i)11ii（3）（4）734ii高考演练：归纳总结：通过本节课的学习，你有什么收获？请从知识、技能、数学思想方法、解决问题的经验等方面谈谈你的感想.布置作业：P112习题1，4，5