双曲线的简单几何性质及经典习题

1知识回顾：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆。即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线。即aMFMF221当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数cba,,的关系222bca（符合勾股定理的结构）0ba，a最大，bcbcbc,,222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,,二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程12222byax可得22ax，当ax时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心xOyxOy奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆22．顶点顶点：0,),0,(21aAaA特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a,a叫做半实轴长虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222byax中，令y=0得ax，故它与x轴有两个交点0,),0,(21aAaA，且x轴为双曲线12222byax的对称轴，所以0,),0,(21aAaA与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21AA叫做双曲线12222byax的实轴长，它的长是2a.在方程12222byax中令x=0得22by，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点bBbB,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用把线段21BB叫做双曲线的虚轴，它的长是2b要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222byax的两顶点21,AA，作Y轴的平行线ax，经过21,BB奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆xyQB1B2A1A2NMO3作X轴的平行线by，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是xaby（0byax），这两条直线就是双曲线的渐近线分析：要证明直线xaby（0byax）是双曲线12222byax的渐近线，即要证明随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢4．等轴双曲线a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成222ayx(或)2b，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为xy它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆A2A1F2F1xOy4点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线三、讲解范例：例1求双曲线1422yx的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图例2求与双曲线191622yx共渐近线且过)3,33(A的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K的值即可例2(1)已知双曲线的两条渐近线方程是xy23，焦点坐标是)26,0(，)26,0(，求双曲线的标准方程．(2)求与双曲线13422xy有共同的渐近线，且经过点)2,3(M的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是043yx，且焦距为8，求此双曲线的离心率及标准方程．四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222yxDyxCyxByxA24.过点(3,0)的直线l与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线l共有(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条34.若方程ak4yak3x22=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆5()(A)(3a,-4a)(B)(4a,-3a)(C)(-3a,4a)(D)(-∞,4a)∪(-3a,+∞)45.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)13811336122xy(B)13361381122xy(C)536554122xy(D)554536122xy55.与双曲线xy22916有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（）(A)xy22144811(B)xy22144811(C)xy221691(D)xy22274811(/)65.一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是（）(A)(0，5)，35(B)(0，532)，(C)(0，532)，(D)(0，535)，75.双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于()(A)-3/32(B)3/32(C)-3/16(D)3/16１．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为)2,0(，则双曲线的标准方程为．２．双曲线与椭圆1641622yx有相同的焦点，它的一条渐近线为xy，则双曲线方程为．奎屯王新敞新疆6３．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为．４．中心在原点，离心率为35的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为．５．与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点)32,3(A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是．五、小结：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222byax的渐近线是xaby，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆