李雅普诺夫方法

第三章动态系统的稳定性及李雅普诺夫分析方法§1稳定性基本概念一、外部稳定性与内部稳定性1．外部稳定性考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。1()tku2()tky系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。如果由非零初始状态引起的系统自由运动有界，即：2．内部稳定性考虑输入量为零时的线性系统000()()()()()tttttttx=Axxxx0x()tx()tkx并满足渐近属性，即lim()0ttx，则称该系统是内部稳定的。它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它们是完全等价的。内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，二、李亚普诺夫稳定性基本概念（一）系统运动及平衡状态1．自治系统自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。00()()()tttx=fx,xx线性系统：00()()()()ttttx=Axxx2．受扰运动将自治系统在初始状态条件下的解称为受扰运动。就是系统的零输入响应。通常表示为。00()txx00(;,)ttxx对非线性系统，一般有多个平衡状态。3.平衡状态(,)()00tt（线性、非线性、定常、时变）对于系统xfxxx如果存在，对所有的t有成立，称状态为上述系统的平衡状态。ex(,)0etfxex①若A非奇异，唯一的平衡状态②若A奇异，平衡状态,非唯一0exAx0ex0ex通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于线性定常连续系统的平衡状态有：如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态，所以讨论零平衡状态的稳定性具有普遍意义。0ex可以将下式看成为状态空间中以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为；把上式视为以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为。球域依赖于给定的实数和初始时间。（二）稳定性定义1.稳定()S()Sex设为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数，都对应地存在另一实数，使得由满足式子ex000(,)etxx0(,)0t的任一初始状态出发的受扰运动都满足0x00(;,)ettxxx则称平衡状态是稳定的。ex0()ttex()S0t从球域内任一点出发的运动对所有的都不超越球域。()S()Sex2x1x0()tx()tx如果与无关，称为是一致稳定，定常系统是一致稳定的。0t平衡状态是稳定的几何解释：ex()S00(;,)ttxx0tt()S一个二维状态空间中零平衡状态是稳定的几何解释如右图。0ex上述稳定保证了系统受扰运动的有界性，通常将它称为李雅普诺夫意义下的稳定，以区别于工程意义的稳定。不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且00lim(,)0ettt；xxx则称平衡状态为渐近稳定。ex从球域内任一点出发的运动对所有的不仅不超越球域，而且当时，最终收敛于平衡状态。2.渐近稳定渐近性()S()Sex1x2x0()tx()tx几何解释：()S00(;,)ttxx0tt()Stex二维状态空间中零平衡状态为渐近稳定的几何解释如右图。0ex满足渐近稳定的球域只是状态空间中的有限部分，这时称平衡状态为局部渐近稳定，并且称为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态。线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。若与无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。若，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能有一个平衡点。满足上面两点的为全局一致渐近稳定。0t()Sex()Sex渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性3.不稳定00lim(,,)ettt对于线性系统一般有：xxxex2x()S1x()S()tx0()tx无论取得多么小，也无论取得多么大，在球域内总存在非零点，使得由出发的运动轨迹越出球域，则称平衡状态为不稳定。()S()S00(;,)ttxx二维状态空间中零平衡状态为不稳定的几何解释如右图。0ex对于非线性系统，也有可能趋于以外的某个平衡点或某个极限环。()S*0x*0xexex单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。线性定常离散系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵的所有特征值的模都小于1。§2李雅普诺夫稳定性分析方法一、李雅普诺夫第一法又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性，比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。1．线性系统情况线性定常连续系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。0ex1()(0)intiiitexqx0exG与经典控制理论的各种判据一致2．非线性系统情况对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。20()()()()[()]eeeeeTT将在平衡点邻域展成台劳级数:exxxxfxxfffxfxxx0xxxxx()xfx非线性自治系统：()fx为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。0ex是系统的一个平衡点。高阶导数项之和1111212enTnnnnefffxxxJacobianfffxxx得线性化模型为其中为矩阵xxxxxAxfAx3)A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统在的稳定性不能得出明确结论，而取决于的高阶导数项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳定性。2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在不稳定；1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在渐近稳定；ex0ex0ex按在邻域研究平衡点的稳定性。即：xAx0ex()fx0ex李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。设为关于n维向量的标量函数，并且在处，有，则对于任意的非零向量，有：一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为，如果不显含时间，则表示为。二、李雅普诺夫第二法又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程，直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于是，李雅普诺夫引入一个“广义能量”函数，它具备能量函数的基本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。(,)Vtxt()Vx（一）预备知识1．标量函数的定号性()Vxx0x()0Vx0x③若，为负定；①若，为正定；②若，为正半定；()0Vx()0Vx⑤若可正可负，为不定。()Vx④若，为负半定；()0Vx2.二次型函数()0Vx()Vx()Vx()Vx()Vx()Vx设x为n维向量，则称标量函数111211212222121112()nnnTnijijijnnnnnpppxpppxVxxxpxxpppxxxPx=为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。权矩阵P为实对称矩阵③若，P为正半定；②若，P为负定；而P的定号性由Sylvester准则确定：①若，P为正定；111p设，111222122pppp，111212122212nnnnnnnppppppppp…,的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：为实对称矩阵P0(1,2,,)iin00iiii为偶数时为奇数时(1,2,,)in01,2,10()iiinin（，)000()iiiiiin为偶数为奇数④若，P为负半定。则平衡状态是大范围渐近稳定的。（2）为负定；（1）为正定；则系统的平衡状态是渐近稳定的，并称是该系统的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足设系统的状态方程为，且其平衡状态为，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，并且满足条件：（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据1．渐近稳定基本判定定理：(,)tx=fx0ex(,)Vtx(,)Vtx(,)Vtx0ex(,)Vtxlim(,)Vtxx0ex（3）条件（1）保证了具备“广义能量”函数的特性，(,)Vtx条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减，条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。2．渐近稳定判定定理2：系统及平衡状态同上，如果满足条件：(,)Vtx（1）为正定；（2）为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即对于有；0x(,)0Vtx则系统的平衡状态是渐近稳定的。同样，如果还满足0ex（3）lim(,)Vtxx则平衡状态是大范围渐近稳定的。(,)Vtx(,)Vtx0ex条件（2）表示在某处会出现但不恒为零的情况，这时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切，但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点，所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。0ex0x(,)0Vtx3．李雅普诺夫意义下稳定判定定理：如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定；则系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。(,)Vtx(,)Vtx(,)Vtx0ex条件（2）不强调不恒为零，意味着系统向着小“能量”方向运动的过程中与某个等“能量”面相切，但可能不再离开该等“能量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。(,)Vtx4．不稳定判定定理：如果满足条件：（1）为正定；（2）为正定；则系统的平衡状态是不稳定的。(,)Vtx(,)Vtx(,)Vtx0ex条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。如果上述定理的条件（2）为即正半定时，也可推论出两种情况：(,)0Vtx（1）时不恒为零，此时该平衡点不稳定；0x(,)Vtx（2）时存在恒为零，此时该平衡点为李雅普诺夫意义下稳定。0x(,)Vtx（三）关于李雅普诺夫第二法的讨论（1）上述结论适用于任何性质的系统，但针对定常系统时，李雅普诺夫函数一般地不显含时间变量，即为。()Vx（2）上述结论中的条件只是充分条件，如果找不到满足定理条件的李雅普诺夫函数并不能对系统的相应稳定性作出否定性结论。(,)Vtx（3）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。（4）上述结论中除了明确指出稳定性的大范围特性外，都只表示了系统在平衡状态附近某个邻域内的稳定性能，即局部稳定性能。为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。2212112212212212212121222122212.()20()42()4()2()422222()VxxVxxxxxxxxxVxxxxxxxxxxxxxxxx（1）选将代入xxx0132,0()11eA：为非奇异阵xxx例()Vx()V未选好x2212211221221222.()0()2222()20VxxVxxxxxxxxxx（）选xx为负半定，