材料力学(II)第三章.

材料力学Ⅱ电子教案1第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法材料力学Ⅱ电子教案2第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1NF2NF1A45o30o2Dl1A'Dl2DAy(c)(a)若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。材料力学Ⅱ电子教案3若利用外力功在数值上等于应变能，即222N112N222121EAlFEAlFFΔAy利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。材料力学Ⅱ电子教案4(a)轴向拉（压）杆22Nε2221llEAEAlFlFWVDDⅠ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得εV§3－2应变能·余能材料力学Ⅱ电子教案52pp2p2eeε22221lGIGIlTGIlMMWV(b)扭转第三章能量方法材料力学Ⅱ电子教案6(c)弯曲第三章能量方法纯弯曲EIlMEIlMMWV222122eeεxEIxMVld2)(02ε横力弯曲材料力学Ⅱ电子教案7可以把应变能统一写成FΔWV21ε式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章能量方法材料力学Ⅱ电子教案82.构件上有一组广义力共同作用ACMFwWVeε2121令F=F1,wC=D1,Me=F2,A=D2,则2211ε2121ΔFΔFWVEIlMEIFlA316e2（）EIlMEIFlwC16482e3（）第三章能量方法例CwCFEIABMel/2l/2A,材料力学Ⅱ电子教案9iininnΔFΔFΔFΔFWV12211ε21212121),,2,1(niFi为广义力，Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。3.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)—只产生弯曲转角d第三章能量方法小变形时不计FS产生的应变能，ΔdFN(x)—只产生轴向线位移dT(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时材料力学Ⅱ电子教案10对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为d)(21d)(21d)(21ddNεxMxTΔxFWVEIxxMGIxxTEAxxF2d)(2d)(2d)(2p22N杆的应变能为llllEIxxMGIxxTEAxxFVV2d)(2d)(2d)(d2p22Nεε第三章能量方法材料力学Ⅱ电子教案11(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。EAaFEAbaFV22)(2221εEAaFFEAbFV2)(222121ε第三章能量方法4.应变能的特点:EAF2F1ab例)()()(eε2ε1εεMVFVFVVF1F2Me材料力学Ⅱ电子教案12(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。第三章能量方法EIlMEIFlwC16482e3EIlMEIFlA316e2EIlFMEIlMEIlFMFwVAC1669621212e2e32eε上图中CwCFEIABMel/2l/2A,(a)材料力学Ⅱ电子教案13第三章能量方法先加F,再加Me(图b，c)ee,,e,ε2121MCMAFCwFMwFVEIlMFEIlMMEIFlFe1632148212ee3EIlFMEIlMEIlF166962e2e32式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。eC,MwF21EIlFwFC483,(b)CwC,FFEIABl/2l/2A,F,EIlMwMC162e,eEIlMMA3e,ecFEIABMel/2l/2wC,F(c),材料力学Ⅱ电子教案14还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。εV第三章能量方法材料力学Ⅱ电子教案15因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。WVεDF1.轴向拉伸与压缩第三章能量方法(2)非线性弹性体应变能为10εdΔΔFWV（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（－曲线和轴之间的面积）1ε0εdv（3－2）材料力学Ⅱ电子教案16（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和为自变量，，。所以为位移状态的函数。)(εΔfV)(DfF)(f（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。DF)(DfF)(f应变能密度d10eεMWVd10εv式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为切应变。eM第三章能量方法注意：2.扭转应变能材料力学Ⅱ电子教案17d10eεMWVd1ε0εv式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。eMVvzyxvVVVddddεεε应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V为体积。第三章能量方法3.梁应变能材料力学Ⅱ电子教案18例3－3原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载作用下的应变能。两杆的弹性模量均为,横截面面积均为。1FAE解：首先分析力F和位移D之间的关系，求出F=f(D)的表达式。设两杆的轴力均为FN，两杆的伸长量和A点的位移分别为AElFlND（1）第三章能量方法(a)材料力学Ⅱ电子教案1922222])()(2[)(llllllllΔDDD)(Δ2ll将（1）式代入上式得由结点A的平衡方程，得EAFlΔN2(2)sin2NFF为小角度，lDtansin(4)第三章能量方法(3)由于所以材料力学Ⅱ电子教案20将（5）式代入（2）式，得或写成（7）EAlΔF3)(F和D的关系如图b所示。ΔFlF2N（5）第三章能量方法lEAFΔ3（6）将（4）式代入（3）式，得材料力学Ⅱ电子教案21（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。lDNF（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。VΔFVdεVVvVdεε第三章能量方法杆的应变能为11341300ε4141dd11ΔFEAlΔΔEAlΔΔFWVΔΔ注意材料力学Ⅱ电子教案22Ⅱ.余能第三章能量方法图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F－D和－关系如图b,c所示。（1）余功的定义为FΔWFd10c（3－6）材料力学Ⅱ电子教案23第三章能量方法其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc和外力功W具有相同的量纲，且Wc为矩形OF1aD1的面积与曲面OaD1的面积（W）之差（图d）,故称Wc为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaWD1Do(d)材料力学Ⅱ电子教案24余能密度为d10cv（3－8）(3－7)和（3－8）式，分别以F和为自变量，D=f(F),f()。所以Vc=f(F)为受力状态的函数。第三章能量方法VcVF1FDD1a(e)o（3）线弹性体（图e）V和Vc数值相等，但概念和计算方法不同，即Vf(D),Vcf(F)。仿照,WVε余能为FΔWVFd10cc（3－7）（2）余能VvVVdcc（3－9）余能为材料力学Ⅱ电子教案25例3－5图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的－关系如图b所示。求结构的余能。解：该题为物理非线性问题，需用求Vc。VvVVdcc第三章能量方法由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为cos212NN1FFF应力为cos21N1AFAF材料力学Ⅱ电子教案26余能密度为d)(d1100cnkv1111)cos2()1(1)1(1nnnnAFnknk结构的余能为11ccc)cos()1()2(2dnnnVFnkAlAlvVvVnk)(得第三章能量方法（n1）nk/1由材料力学Ⅱ电子教案27图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。Ⅰ.卡氏第一定理iniΔiifWVd10ε（3－10）第三章能量方法设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,i，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为§3－3卡氏定理),,,,,(21εniΔΔΔΔfV表明为位移状态函数。材料力学Ⅱ电子教案28假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为（dDi不是由Fi产生的，FidDi为常力做的功）iiΔFWdd（a）第三章能量方法iiΔΔVVddεε(b)式中，为应变能对位移的变化率。iΔVεiΔ材料力学Ⅱ电子教案29（3－11）式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（3－11）适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把V写成给定位移的函数形式。第三章能量方法iiΔVFε（3－11）得WVddε令材料力学Ⅱ电子教案30第三章能量方法例3－8图a所示结构中，AB,BC杆中的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求B点的水平位移D1和铅垂位移D2。材料力学Ⅱ电子教案31解：卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB,BC杆的变形量AB,BC所引起的。首先分析AB,BC和D1和D2的几何关系。122ΔAB=D1，BC=A1cos45˚=设B点只发生铅垂位移D2（图c），由图可见第三章能量方法设B点只发生水平位移D1（图b），由图可见材料力学Ⅱ电子教案32D1和D2同时发生时，则有0AB2022245sinΔΔBC,1ΔAB)(2221DDBC（1）,由于是线弹性问题，结构的应变能为2212122ε)](22[222222ΔΔlEAΔlEAlEAlEAVBCAB)2121(22222212121ΔΔΔΔlEAΔlEA（2）第三章能量方法材料力学Ⅱ电子教案330)22224(2211εΔΔlEAΔV（3）FΔΔlEAΔV)(222212ε（4）联立求解（3）,（4），得可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。EAFlΔ1（→）,EAFlΔ)221(2（↓）第三章能量方法由卡氏第一定理，得材料力学Ⅱ电子教案34Ⅱ.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载