材料力学第五章.

第五章梁的基础问题•§5-1平面弯曲概念•§5-2梁的载荷及计算简图•§5-3剪力与弯矩•§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)•§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系第五章梁的基础问题•§5-6纯弯曲梁的正应力•§5-7梁的切应力•§5-8梁弯曲时的强度计算•§5-9梁的变形•§5-10叠加法求梁的变形第五章梁的基础问题•§5-11提高梁强度的措施•§5-12梁的刚度条件与梁的合理设计•§5-13简单超静定梁的解法•小结一、梁的平面弯曲梁：主要承受横向载荷的杆。直梁—轴线为直线，曲梁—轴线为曲线；对称梁—有对称平面，非对称梁—没有对称平面。平面弯曲：载荷：所有外力都作用在梁纵向对称面内。§5-1平面弯曲概念变形：轴线在纵向对称面内变形。AxB纵向对称面FqMeFAyFByyyyy纵向对称轴平面弯曲图示§5-1平面弯曲概念二、梁的平面弯曲吊车梁§5-1平面弯曲概念三、工程实例钻床臂§5-1平面弯曲概念三、工程实例刨床刨刀§5-1平面弯曲概念三、工程实例x一、梁的载荷及支座反力1．载荷：xxxq(x)F1F2(a)集中力F(N)(b)分布载荷q(x)(N/m)q(N/m)(d)集中力偶Me(N·m)(c)均布载荷qMeMe图示法符号(单位)名称Fx2Fy2§5-2梁的载荷及计算简图集中载荷(集中力、集中力偶)，分布载荷(均布载荷、分布载荷)。2．支座反力滑动铰支1(FRy)固定铰支2(FRx，FRy)固定端3(M/FRx/FRy)FRyFRxMFRyFRxFRy图示法反力未知反力数名称§5-2梁的载荷及计算简图一、梁的载荷及支座反力二、梁的分类及计算简图1．梁的计算简图：用梁的轴线代替梁，将载荷和支座加到轴线上。2．梁的分类(根据支撑形式)：1)静定梁：仅用静力平衡方程即可求得反力；(a)悬臂梁，(b)简支梁，(c)外伸梁2)超静定梁：仅用静力平衡方程不可求得反力；(d)固定梁，(e)连续梁，(f)半固定梁§5-2梁的载荷及计算简图3(2)*3(2)3(2)6(4)5(4)4(3)(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁(d)固定梁(e)连续梁(f)半固定梁*假定轴线方向反力为零，则未知力总数减少为()内的数FxFyMFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy4Fy2Fy3Fy1Fx1M1Fy2梁的名称图示法未知反力数§5-2梁的载荷及计算简图二、梁的分类及计算简图一、截面法求弯曲内力截面法过程：切取、替代、平衡。M1FQ1FQ1M1FAyFCABy11xxFByF:0yFAyFF1Q:0MxFMAy1:0yF1QF:0M1MFAyFBy§5-3剪力与弯矩1．剪力：平行于横截面的内力；符号：FQ；使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负；2．弯矩：绕截面转动的内力(矩)；符号：M；使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负；梁左截面向上的剪力为正，右截面向下的剪力为正。使梁上压下拉的弯矩为正。§5-3剪力与弯矩二、弯曲内力的定义及正负-(FQ0)FQFQFQFQ+(FQ0)+(M0)-(M0)剪力FQ弯矩MMMFQFQMMMM§5-3剪力与弯矩二、弯曲内力的定义及正负FQ、M产生的变形正负1．剪力：任一截面的剪力FQ=该截面任一侧所有横向外力的代数和。2．弯矩：任一截面的弯矩M=该截面任一侧所有外力(横向力、力矩)对该截面形心产生力矩的代数和。§5-3剪力与弯矩三、弯曲内力的计算法则(截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力对该截面产生的剪力为正)(向上的横向力、截面左侧顺时针力矩和截面右侧逆时针力矩对该截面产生正的弯矩)*3．判断外力产生剪力、弯矩正负的图例：F1FAyFAy使AC段左上右下(或者FAy在AC段左截面且向上)，在n—n截面产生的剪力为正；FAy使梁AC段产生下凸变形(或者FAy使梁AC上压下拉)，对n—n截面产生的弯矩为正；nnCFAyqF1Me1Me2FByABF2Me1§5-3剪力与弯矩三、弯曲内力的计算法则例5-1求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5m3m1.5m1.5mq=12kN/mF=8kNABFAyFBy：0BM解：1)求支反力：AyF6F5.4-233-q0kN15AyF：0yF03--qFFFByAykN29ByF(可以利用A点矩平衡求FBy进行校核）2)求1—1截面内力：取左段研究kN7Q1-FFFAymkN26)5.12(21--FFMAy3)求2—2截面内力：取左段研究kN115.12Q---qFFFAymkN3025.135.422--qFFMAy取右段研究简单些§5-3剪力与弯矩一、剪力、弯矩方程)()(QQxMMxFF剪力、弯矩方程的函数图，横坐标为轴线，纵坐标为内力的大小。本书约定：内力均以坐标轴上方为正。—剪力、弯矩沿梁轴线变化的函数关系。剪力、弯矩方程的坐标原点及方向可任意选取；剪力、弯矩图根据相应的剪力、弯矩方程作出；§5-4剪力图与弯矩图二、剪力、弯矩图--FxxMFxF)()(QFlMFFmaxmaxQ||||_FQ_M例5-2作图示悬臂梁AB的FQ、M图。lFABxxFl观察剪力弯矩图的形态：集中力作用处、无载荷作用段§5-4剪力图与弯矩图解：1)列剪力、弯矩方程：2)作图：F_+FQ+Mx例5-3图示简支梁受均布载荷q的作用，作该梁的FQ、M图。BqAlFAyFByql/2ql/2ql2/83ql2/32l/4解：1)求支反力：2qlFFByAy对称性2)列剪力弯矩方程：----222/)(2)(22QqxqlxqxxFxMqxqlqxFxFAyAy3)作FQ、M图：8/||2/||2maxmaxQqlMqlF观察剪力弯矩图的形态：均布载荷作用，剪力为零截面§5-4剪力图与弯矩图x1x2+_FQ+M例5-4图示简支梁AB的C点作用集中力F，作该梁的FQ、M图。lFabCABFAyFBy)0()()0()(11111QaxlFbxxMaxlFbxFFb/lFa/lFab/l解：1)求支反力：lFaFlFbFByAy//2)列剪力弯矩方程：3)作FQ、M图：观察剪力弯矩图的形态：集中力作用处、无载荷作用段AC段：--)()()()()(22122QlxaxllFaxMlxalFbxFCB段：§5-4剪力图与弯矩图x1x2+FQ_+MMe/l例5-5简支梁AB的C点作用集中力偶Me，作该梁的FQ、M图。labMeCABFByFAyMeb/l)0()()0(/)(11e11e1QaxxlMxMaxlMxF解：1)求支反力：lMFlMFByAy//ee-2)列剪力弯矩方程：3)作FQ、M图：观察剪力弯矩图的形态：集中力偶作用处AC段：--)(/)()()(/)(22e22e2QlxalxlMxMlxalMxFCB段：§5-4剪力图与弯矩图Mea/l一、FQ、M和q(x)的微分关系假设q(x)向上为正，向下为负；任取无集中力、集中力偶的微段，认为q(x)为常数；微段左右截面FQ、M假设均为正。§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)0d)(21d)()()(d)(2Q---xxqxxFxMxMxM:0yF)(d)(dQxFxxM0d)()()(d)(QQQ--xxqxFxFxF)(d)(dQxqxxF:0OM21d)(1Q2QxxxxqFF21d)(Q12xxxxFMM)(d)(dd)(dQ22xqxxFxxM§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、FQ、M和q(x)的微分关系dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)二、FQ、M和q(x)微分关系的几何意义集中力作用处：剪力图突变，突变值为集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向，弯矩图发生转折；FQ图某点的切线斜率等于该点q(x)；M图某点的切线斜率等于该点FQ；若x1、x2两截面间无集中力作用，则两截面的剪力差为两截面间q(x)图面积；若x1、x2两截面间无集中力偶作用，则两截面的弯矩差为两截面间FQ图面积；§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系集中力偶作用处：弯矩图突变，突变值为集中力偶的大小，若该处无其它力，则左右弯矩图斜率不变，剪力图不受集中力偶影响；各种载荷下剪力图与弯矩图的形态qq0q0M0M0FQ0紧靠C的某一侧面FQ0FQ=0FQ变号处+_CFCMeCFCMeC外力形态FQ图M图Mmax位置§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系二、FQ、M和q(x)微分关系的几何意义载荷图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；q突变反向，剪力图有尖点(转折)，弯矩图有凸凹性反转的拐点；三、利用微分关系作剪力弯矩图2．用计算法则(或积分关系)计算分段点FQ、M值；1．用微分关系判断分段点间FQ、M图形态；§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系3．分段点间连线；载荷图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称；q2qa2qa2qaaaaaaqaqFQMqaqa2qa20.5qa2--+--+qaqaqa22qa22qaqaqaqq§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系四、各种载荷下FQ、M图形态的引例FQ+__M(kN·m)3.81.413(kN)4.23.8E3.1m32.2例5-7作图示外伸梁的FQ—M图。q=2kN/mMe=6kN·mF=3kNDCAB4m1m1mFByFAy_++562134CA和DB段：可以先确定各分段点的FQ、M值，用相应形状线条连接。解：1)求支反力：kN8.3kN2.7ByAyFF，2)各段FQ、M图形状：AD段：FQ图为水平线，M图为斜直线。q=0FQ图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。q=C03)作FQ、M图：§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系五、附加题1．aBqa2A2aqaBqa2A2aq2．AaBaqa22aqqa3．aBqa2A2aaq4．qaaBqa2Aaqa5．2mB10kN.mA2m4kN/m20kN2m6．§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系六、叠加法作FQ、M图*§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系叠加法使用条件：线弹性、小变形，各载荷产生的物理量之间互相独立。叠加法求解的内容：内力、应力、应变及变形。叠加法作内力图的方法：梁的支撑形式不变，将梁上载荷分解成若干简单载荷分别作用，并作出各简单载荷作用下的内力图，再进行叠加。qaqa-qa2qa2/8-qa2-qaqa/2-六、叠加法作FQ、M图*§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系q2aaqa=+q2aa2aaqa3qa/2qaqa/2-FQMqa2/2一、梁按内力分类纯弯曲梁：横截面上只有弯矩M，无剪力FQ。横力弯曲梁：横截面上既有弯矩又有剪力。§5-6纯弯曲梁的正应力+-FQF/2F/2MFa/2+F/2F/2aa伽利略的研究*§5-6纯弯曲梁的正应力1638《关于两门新科学的对话》：1)悬臂梁强度；2)自重作用下等强度梁fFl中国的研究*§5-6纯弯曲梁的正应力北宋李诫(1035-1110)，《营造法式》hbh:b=1.5二、弯曲平截面假设平截面假设：变形前与轴线垂直的横截面，在变形后仍为平面且保持与轴线垂直。单向受力假设：纵向纤维之间无正应力作用。§5-6纯弯曲梁的正应力hMMMM中性层：构件内部既不伸长也不收缩的层。中性轴：横截面与中性层的交线。纵向对称轴yzO中性层中性轴缩短升长§5-6