材力第6章弯曲变形

第六章弯曲变形静不定梁7-1§6-1工程实际中的弯曲变形问题1.挠曲线方程：()wfx由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计4.挠度与转角关系为：tan,arctandwdwdxdx挠曲线wxxw挠度转角2.挠度w：截面形心在y方向的位移w向上为正3.转角θ：截面绕中性轴转过的角度,逆钟向为正7-2θ§6-2梁的挠曲线的微分方程纯弯曲时，得到：1ZMEI横力弯曲时,忽略剪力对变形的影响1()()zMxxEIMM由数学知识可知：22231[1()]dydxdydx由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的微分方程为：2M(x)0M(x)0Odydx20xyM(x)0Odxdy022yxM(x)0223221dwMdxEIdwdx挠曲线微分方程：上式是非线性的，适于弯曲变形的任意情况。小变形情况下：tan,dwfxdx223221dwMdxEIdwdx21dwdx22dwM=dxEI——挠曲线近似微分方程挠曲线的近似微分方程为：()22zdwMx=dxEI积分一次得转角方程为：()zzdwEI=EIθ=Mxdx+Cdx()2z2dwEI=Mxdx再积分一次得挠曲线方程为：()zEIw=Mxdxdx+Cx+D7-3§6-3用积分法求梁的变形积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0Aw=0Aw0AAw位移边界条件光滑连续条件ALARw=wARALALARw=w－弹簧变形例6-1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：,0AxF),(FFAy)(FlMA2）写出x截面的弯矩方程)()()(lxFxlFxM3）列挠曲线近似微分方程并积分22()()dEIMxFxldxw21()2dEIEIFxlCdxw31()6EIFxlCxDw积分一次再积分一次BABxwxlFBw4）由位移边界条件确定积分常数0,0Axw0,0Ax3261,21FlDFlC代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度2221)(21FllxFEI323111()626EIwFxlFlxFl23maxmax,,23BBFlFlxlyEIEIwBABxwxlFBw例6-2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解1）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx,,02）弯矩方程1111,(0)AyFbMxFxxxalAC段：222222()(),()AyFbMxFxFxaxFxaaxllCB段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB3）列挠曲线近似微分方程并积分211121()dwFbEIMxxdxl121111()2dwFbEIEIxxCdxl1311116FbEIwxCxDlAC段：2222222()()dwFbEIMxxFxadxl22222222()()22dwFbFEIEIxxxaCdxl23322222()66FbFEIwxxaCxDlCB段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB1111,(0)AyFbMxFxxxal222222()(),()AyFbMxFxFxaxFxaaxll4）由边界条件确定积分常数22=()=0xl,wl11=0(0)=0x,w代入求解，得位移边界条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx1212==()=()xxa,wawalFbFblCC661321021DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB1211()2FbEIxxCl1311116FbEIwxCxDl222222()()22FbFEIxxxaCl23322222()66FbFEIwxxaCxDl5）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI113221-(-)FbFbEIwxlbx6l6lAC段：ax10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI33222222()()666FbFFbEIwxxalbxllCB段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB6）确定最大转角和最大挠度令得，0dxd))((6,maxalEIlFablxB令得，=0dwdx22322max(),()393FblblbxEIlwmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB最大转角，显然在支座处(0)()6AzPabLbEIL()()6BzPabLLaEILBbamaxAbamax（顺时针方向）（逆时针方向）（绝对值）maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB)(6222211bllFbxlFbEI)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI讨论：1.或由大致挠曲线确定从AB，:，中间必经过0。2.当P力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时010.57730.5xLLL接近简支梁无论F作用在何处用%65.2最大误差max()2Lww代替maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB积分法求梁的变形关键点：①分段列弯距方程②寻找边界条件分段:AB、BC、CD三段，六个积分常数。边界条件0,0,AABCBC右右左左,0DCCw右左PDABC边界条件：0,ABBCwwl分段原则：集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点，梁的自然端点为分段点。边界条件：支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。ABC小结解题步骤:1.分段求M(x);2.分段写挠曲线微分方程EIw〃=M(x),并积分之;3.由边界条件定积分常数,得挠曲线方程w(x)及转角方程θ(x);4.求最大变形θmax,wmax.⑴由经验判定挠曲线,找出最大值所在位置;⑵对变形方程求极值而确定最大值;⑶由M图画大致挠曲线:M(x)=EIw〃M＞0,w〃＞0;M＜0,w〃＜0;M=0,w〃=0;M=C,ρ=C.圆弧例:已知挠曲线方程则两端截面的约束可能为下列情形中的＿＿.323(32)(48),EIyqxllxx/Bxol(D)yxol(C)y(B)xoly(A)xoly32303230200(32)/480,0,(98)/480,0,(2418)/480,0,(4818)/480,0,,,xxlxxlxxlxxlEIwqxllxxwwABEIwqllxxBDEIwqxlxMMMBDEIwqxlQQQABCD22()dwEIEIw''Mxdx设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：()iiEIw''Mx若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：iiw)(xMi由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii所以，11''()''()nniiiiEIwEIwMx7-4§6-4用叠加法求梁的变形故1''()''niiww由于梁的边界条件不变，因此,1nii1niiww重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。因为11''()''()''nniiiiEIwEIwMxEIw叠加法成立前提，线弹性、小变形。3,3BzPLwEIzBEIPL22LAPBq4,8BzqLwEIzBEIqL63ABLP3,48CzPLwEIzAEIPL16245,384CzqLwEIzAEIqL243挠度：3、8、48、5/384转角：2、6、16、24qABL/2L/2CABL/2L/2C常见载荷作用下的挠度：例6-3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy321BBBByC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和)(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiBqBACla例6-4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、a、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C解qBAClaθByByC36CBqlEICBByya4386qlqlaEIEI3243qllaEICy例6-5已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C。解一,积分法dxxdxxdP查表，其中dP=qdx,c=x2(3)6CdPxdylxEI2(3)6qxlxdxEI2llCCydy22(3)6llqxlxdxEI43264llqxlxEI441384qlEI1）将载荷变成有表可查的情形2Cy1Cy2By14,8CqlyEI222432128482CBBlqlqllyyEIEI136CqlEI22348CBqlEI42141,384iCCiqlyyEI3）将结果叠加321748iCCiqlEI2）计算各自C截面的挠度和转角解二,叠加法解：分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPPam0(a)刚化BC例6-6求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaBPam0zzBEIPaLEILm330123CBzPaLfaEI(c)叠加(b)刚化ABBCP2CfLaABCP233CzPafEI12CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333][],[maxmaxyy建筑钢梁的许可挠度：1000~250ll机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：500017-5§6-5梁的刚度校核hbABLq例6-7已知：q=10kN/m，L=3m，bhLfGPaE2,2501][,200试设计截面。,120][MPa解：(1)按强度条件设计A截面为危险截面2323max11101034510Nm22MqL][maxzWM32646332bbbhWz63310120104532b3236345108.2510m8.25cm212010b216.5cmhb(2)按刚度条件设计][maxLfLf4max,8zqLfEI3212)2(12433bbbbhIz333max94101031282508200103ZfqLLEIb代入刚度条件可得：33493101032508.92cm8200102b