添零法在函数图像表示中的应用

添零法在函数图像表示中的应用佛山市南海区石门中学谢辅炬快速准确地绘制函数图像是几何画板的一大特色，几何画板在绘制图像的时候有一个默认的绘图区域，那么如何绘制函数在某一特定区间上的图像呢？如f(x)=x＋1，x∈[-1,1]。一种方法是修改函数图像的属性，在范围框中输入x的范围（如下图一所示），但是得到的图像两端含有箭头，鼠标移至端点处出现一个‘十字架’，按下鼠标托动会改变图像，那么如何作一个不会变动的图像呢？我们可以通过添零法修改函数的定义域。（一）添零法的概念我们知道，函数y=0(1)(1)xx的定义域是[-1,1]，值域{y|y=0}，所以()10(1)(1)hxxxx的图像就是f(x)=x+1,在[-1,1]上的图像。我们将这种方法叫做添零法。同样的道理f(x)=x+1在1,1上的图像可以用1()10(1)(1)01gxxxxx的图像表示，但是g(x)和h(x)在屏幕上是没有区别的，所以可以用g(x)的图像表示f(x)在区间1,11111、－，1、－，1、－，的图像。所以可以用添零法得到函数f(x)在区间（a，b）上的图像。方法是新建立函数f(x),新建函数()()0()()hxfxxaxb，绘制h(x)的图像。（二）添零法的应用一、轴定区间动问题的演示。例题：函数f(x)=x2－2x+2在[－1,a]上的最大最小值。1、新建参数a，新建函数2f(x)=x-2x+1,并绘制对称轴，用虚线表示。（加强对称轴的对最大最小值的影响）。2、新建函数h(x)=f(x)+0-(x+1)(x+a)，绘制h(x)的图像，并用粗线表示。3、修改参数a的值，可以发现，当－1a≤1,时2maxmin(1)5,()21ffffaaa当1a≤3，maxmin(1)5,(1)1ffff当a3时，2maxmin()21,(1)1ffaaaff推广：任意一元二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[d,e]上的最大最小值。1、在垂直于x轴的五条垂线上分别取点a、b、c、d、e分别度量它们的纵坐标并修改标签为a、b、c、d、e，分别表示一元二次函数的系数和区间的端点。2、新建函数f(x)=ax2+bx+c,绘制该函数的图像和对称轴并用虚线表示。3、新建函数h(x)=f(x)+0-(x-d)(x-e)，绘制该函数图像并用粗线表示。4、拖动a、b、c三点可以得到任意一元二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像，拖动d、e可以得到该一元二次函数在任意区间[d,e]上的图像。如下图所示（注意观察三图中d点的变动）二、动态显示函数的图像。函数图像的教学中经常用描点法绘制函数的图像。如五点法绘制一元二次函数y=x2,y=sinx,y=2x的图像，手工绘图的时候是先绘制五个关键点，然后用光滑曲线连接各点。但是画板显示图像的时候是一次性显示出来，没有动感。那么如何得到手工绘图那种连接各关键点的动态效果呢？通过上面的例子我们知道添零法其实是限制了函数的定义域，如果我们动态地改变函数定义域的端点，不就得到了动态的函数图像了吗？例如：五点法绘制函数y=sinx,x[0,2]的图像。1、新建坐标系，修改原点标签为O。绘制点A(2,0)，连接OA。2、在线段OA上任取一点B，度量B的纵坐标bx，修改标签为b。3、绘制点3(,1),(,0),(,1)22CDE4、新建函数f(x)=sinx+0-x(x-b)，绘制该函数的图像。5、选择点B和O，单击【编辑】【操作类按钮】【移动】，设置【速度】为高速。选择点B和A，单击【编辑】【操作类按钮】【移动】，设置【速度】为中速。顺次选择第一个和第二个按钮，单击【编辑】【操作类按钮】【系列】，设置【执行参数】为‘依序执行’。单击第三个按钮，则可以观察图像从O出发，依次穿过C、D、E、A点的动态过程。(如下图所示，注意观察三图中B点的横坐标b的值的变化)几何画板的迷人之处是在于它能够反映数学的本质，用数学方法构造的函数图像更贴切，更自然。作者信息：联系地址：佛山市南海区石门中学联系电话：0757—81352162电子邮箱：[e-mail]:22056328Msn：[e-mail]