不动点理论及应用

第6章不动点理论及应用§6.1问题的提出及不动点§6.2不动点定理§6.3不动点定理的应用§6.1问题的提出及不动点1.问题的提出:在工程和科学技术中的许多问题常常归结为解各种函数方程()0fx，如：代数方程、微分方程、积分方程、线性方程组、泛函方程等。这些方程各自都有相应的解法，但有些解法对某些方程来说效果不好、计算复杂、计算量大、解决困难等。这就需要我们寻找合适的求解方法。[,]Cab[,](1)pLabP(1)plP，，例如：求方程310xx在区间（0,2）内的近似根；求解线性方程组Axb实际上，对于上述各种方程的求解问题，都可以统一为求解相应的算子方程的不动点问题。转化方法：方程()0()fxxxfx令算子:()Txxfx则求解方程()0fx求算子方程xTx的解*x（称为不动点）如：AxbxxAxb()xIAxb令()TxIAxb，则求解Axb求解xTx的不动点。2.不动点的定义设（1）X——距离空间；（2）算子:TXX的映射。若***,..xXstxTx，则称*x为算子T的不动点。例：①11:TRR,2Txx，则T的不动点为2xx的解1，0。②22:,(,)(,0)TRRTxyx，则T的不动点为x轴上的所有点③22:TRR,旋转变换cossinsincosxxTyy，则T的不动点为坐标原点(0,0)。④11:TRR,平移变换(0)Txxbb，则T没有不动点。求解算子方程xTx，需要解决三个问题：一、不动点的存在性、唯一性问题；二、求不动点（即求近似解）的方法问题；三、误差分析。求不动点的方法——迭代法取初始点0x，构造迭代序列：1(0,1,2,)nnxTxn，即10xTx，21321,,nnxTxxTxxTx，，若序列{}nx收敛，则极限点*x为xTx的不动点。这种用逐次代入法构造近似解的方法称为迭代法。不同的算子方程，得到不同的迭代法。§6.2不动点定理1.压缩算子:设（1）X距离空间；（2）算子:TXX的映射。若(01),..,stxyX，恒有(,)(,)TxTyxy则称T是X上的压缩算子。为压缩系数。性质：压缩算子T是连续的证若nxx，即(,)0nxx，则(,)(,)0nnTxTxxx例：11:TRR，则①12Txx是压缩算子因为1111(,)(,),2222TxTyTxTyxyxy②0Txx是压缩算子（0）③Txx不是压缩算子（1）2.不动点定理设（1）X是完备的距离空间；（2）:TXX的压缩算子。则T在X上存在唯一的不动点*x，即***,..xXstxTx证先证存在性，再证唯一性存在性：唯一性：关于不动点定理的几个注（1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性的证明。（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T的选取及初始点0x的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。（4）误差估计事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。设迭代到第n步，将*nxx，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11nnnxxTxxxx证事后（或后验）误差：计算到第n步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)nnxx，若该值小于预定的精度要求，则取*nxx。此方法简单，但有时无法估计计算步数。设迭代到第n步，将*nxx，则误差估计式为*1(,)(,)1nnnxxxx或*11(,)(,)1nnnxxxx证求解不动点的具体步骤：Step1提供迭代初始点0x；Step2计算迭代点10xTx；Step3控制步数，检查10(,)xx，若10(,)xx。则以1x替换0x转到第二步，继续迭代，当10(,)xx时终止，取1x为所求结果。误差不超过1对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同条件下所适合的方法。推论1设（1）X——完备的距离空间；（2）:TXX的算子。（3）T在闭球0(,)sxrX上是压缩算子，并且00(,)(1)Txxr则T在0(,)sxr中存在唯一的不动点证明思路：只要证明T在s上满足不动点定理的两个条件即可证：推论2设（1）X——完备的距离空间；（2）:TXX的算子。（3）存在01及正整数n，使,xyX，都有(,)(,)nnTxTyxy则T在X中存在唯一的不动点。定理的意义在于：如果不能直接得到T是压缩算子，可以研究nT是否为压缩算子，从而得到T有唯一不动点。证§6.3不动点定理的应用不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一个比较广泛的抽象空间，所以不动点定理有着广泛的应用。应用不动点定理解决实际问题的步骤：（1）寻找压缩算子T，将问题转化为求xTx的不动点；（2）构造迭代序列{}nx，取极限点*nxx；（3）误差分析；（4）通过实际问题进行验证。1.在线性代数中的应用（本章不讲，在第九章中介绍）例如()AxbxIAxbTx则迭代格式1()nnxIAxb2.不动点定理在常微分方程中的应用科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题。除了一些简单的微分方程外，要找出解析解是非常困难的、甚至是不可能的。因此，许多类型的微分方程应用数值解法求近似解。数值解法是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法。本节只讨论应用不动点理论在函数空间中给出常微分方程解的存在性和唯一性定理，至于具体的求解方法可参考其它教材。下面以一阶微分方程的初值问题为例进行讨论。定理1（一阶微分方程的初值问题）已知00(,)()dyfxydxyxy若(,)fxy在2R上连续，并且满足李普西兹（Lipschitz）条件：1212(,)(,)(0)fxyfxyLyyL则通过点00(,)xy必有且只有一条积分曲线()yyx证：初值问题求解方程00()()(,())xxyxyxftytdt令00(,)xxTyyftydt，则问题为解yTy的不动点。（下面只要证明T满足不动点定理的两个条件即可）3.不动点定理在积分方程中的应用定理2设有线性积分方程（Fredhlolme—弗雷德霍姆方程）()()(,)()baxsfsKstxtdt则对于充分小的，有（1）()[,],(,)[,][,]fsCabKstCabab（正方形域）时，方程有唯一的连续函数解。（2）22()[,],(,)bbaafsLabKstdsdtM时，方程有唯一的平方可积函数解。证（1）思路：构造算子T，并证明T是压缩的。①[,]Cab按范数()max()atbxtxt是完备的距离空间；②在[,]Cab上，令()()(,)()baTxsfsKstxtdt，则:[,][,]TCabCab的算子。下面证T的压缩性。证（2）思路：构造算子T，并证明T是压缩的。①2[,]Lab按范数1222()()baxtxtdt是完备的距离空间；②在2[,]Lab上，令()()(,)()baTxsfsKstxtdt，则22:[,][,]TLabLab的算子。下证T的压缩性。第一种情形举例例设在[0,1]C上有,0(,),1sstKsttts，求方程101()1(,)()10tKstsds的近似连续函数解，且要求误差不超过10-4。解100111()1,,(,)[0,1][0,1],max(,)102tftKstCMKstds，令101()1(,)()10TtKstsds，其中1110M，1120M，故由定理2（1）的证明知，算子方程T存在唯一的不动点*[0,1]C。