渐开线齿轮齿廓的优化设计与研究

渐开线齿轮齿廓的优化设计与研究张伟何家宁昆明理工大学机电机电工程学院，昆明，650093摘要：首先，本文讨论了传统的渐开线齿轮存在的问题，从而引出了对齿廓的优化设计。其次，基于UG/NX参数化地建立齿轮模型，理论上对比分析了渐开线-圆弧齿轮与渐开线直齿轮的弯曲应力，并且说明了渐开线-圆弧齿轮对弯曲疲劳寿命的改善。最后，分别建立渐开线直齿轮和渐开线-圆弧齿轮的装配模型，并导入ADAMS中进行运动学仿真，提取相关图表进行对比分析，说明了渐开线-圆弧齿轮对传动性能的改善。通过本文的研究，将为渐开线-圆弧齿轮的优化设计及实际加工制造提供理论依据。关键词：数学建模；渐开线-圆弧齿轮；UG；弯曲疲劳寿命；ADAMS0引言齿轮作为传递运动和动力的机械零件，用于传递空间任意两轴之间的运动和动力，是现代机械中应用最广泛的一种传动机构[1]。渐开线齿轮由于传递运动准确，运行平稳，并且具有一定的承载能力，长期以来被广泛地应用于工业生产中。但是，由于渐开线齿轮特有的齿形，会带来许多问题，例如：由于齿轮轮齿交变应力的作用，以及因轴的弯曲变形引起的载荷沿接触线不均匀分布等因素的影响，故振动噪声较大，传动不平稳；由于齿轮间的啮合方式为齿廓线接触的外啮合，故传动中接触应力较大，降低了承载能力。本文所研究的渐开线-圆弧齿轮是对传统的渐开线直齿轮进行齿廓修形的齿轮，这种齿轮除具有传统渐开线齿轮的优点外，还有效地改善了传统齿轮的传动性能。本文通过理论研究和计算机仿真说明了渐开线-圆弧齿轮相较于传统齿轮在传动性能上的优化，为渐开线-圆弧齿轮的实际加工与制造奠定的理论基础。1渐开线-圆弧齿轮的数学建模所谓渐开线-圆弧齿轮，即相互啮合的一对齿轮，其齿廓接触线为圆弧的渐开线齿轮。如图1所示为该齿轮的齿廓形状，这种齿轮的齿廓是由两条渐开线沿各自的两条圆弧平行移动后形成的曲面。所以这种齿轮具备传统的渐开线直齿轮的所有优点，两者之间的区别只是齿廓接触线一个是圆弧，一个是直线而已[2]。1—凸面齿廓；2—凹面齿廓；3—齿根；4—齿顶；5、6、7、8—相同的渐开线；9、10、11、12—半径相等的圆弧；13、14—齿根过渡圆弧面图1渐开线-圆弧齿轮的齿廓形状齿轮是机械传动系统中广泛采用的传动机构，在结构外形上具有特征系列化、参数化的特点[3]。如在设计中因参数的改变而重复设计，不仅浪费时间精力，还会造成数据冗余，而利用UG参数化建模功能，可以较好地解决这一问题。在UG中对齿轮进行参数化建模，如图1所示的齿轮齿廓参数方程为[4]：cos()sintbbxrsrradss；sin()costbbyrsrradss；0tz。其中：br为基圆半径，s为渐开线参数方程的自变量。如图2所示为参数化设计的渐开线-圆弧齿轮。图2渐开线-圆弧齿轮2渐开线-圆弧齿轮承载能力分析在实际传动中，对于传统的渐开线直齿轮，当轴承相对于齿轮作不对称配置时，受载前轴没有发生弯曲变形，轮齿处于正常啮合状态；但是受载后，由于轴发生弯曲变形，使得安装在轴上的齿轮发生倾斜，那么作用在齿轮上的载荷不能沿接触线均匀分布，减小了齿轮的承载能力，并且使得传动过程中的振动噪声增大。本文所研究的渐开线-圆弧齿轮除具有传统渐开线齿轮的一切优点外，由于对接触线进行了修形，用圆弧的齿廓接触线替代了直线，使得齿轮轴即便在载荷作用产生弯曲变形的情况下，让齿轮在一对接触圆弧间产生相对滑动，从而自动地补偿载荷沿接触线的不均匀分布；并且由于接触线长度和抗弯截面系数大于传统渐开线齿轮的，因此，前者的承载能力大于后者的；此外，渐开线-圆弧齿轮传动不产生轴向力，所以它可以代替斜齿轮和人字齿轮[1]。如图3所示[5]，为渐开线-圆弧齿轮轮齿的危险截面，FS为危险截面处的齿厚，e为危险截面的形心位置，b为齿宽；轮齿凸圆弧面的半径为R，对应的圆心角为2。图3渐开线-圆弧齿轮的危险截面若作用载荷为nF，渐开线直齿轮与渐开线-圆弧齿轮的齿宽同为b，对于渐开线直齿轮，接触线长度即为齿宽长度，则沿齿面接触线单位长度上的平均载荷为：1npFb/Nmm（1）而对于渐开线圆弧齿轮，接触线为圆弧，则沿齿面接触线单位长度上的平均载荷为：2[2(sin)]npFbR/Nmm（2）由公式（1）和（2）可知，当承受相同载荷时，后者的齿面接触应力更小。对于渐开线直齿轮，其危险截面为矩形，抗弯系数为[6]：221sin3xFFWbSRS（3）而渐开线-圆弧齿轮的形心位置e、圆心角2内阴影部分的惯性矩xI分别为：332sin[()]3(2)FFFeRRSSRS（4）32(8)(2)(sincos2sin)xFFISRS（5）渐开线-圆弧齿轮的抗弯截面系数为：2max()xxxWIyIRe（6）通常情况下，21xxWW，仅当R时，0，21xxWW，即渐开线-圆弧齿轮弯曲应力更小，抗弯能力更强。3渐开线-圆弧齿轮弯曲疲劳寿命的分析齿轮传动产生振动和噪音的原因，除了轮齿的啮合刚度变化之外，再就是齿轮的啮合冲击[6]。对于传统的渐开线直齿轮，当轴承相对于齿轮作不对称配置时，在受载后，轴发生弯曲变形使得安装在轴上的齿轮发生倾斜，那么作用在齿轮上的载荷不能沿接触线均匀分布，减小了齿轮的承载能力，并且使得传动过程中的振动噪声增大，从而减小了齿轮的弯曲疲劳寿命。而本文的渐开线-圆弧齿轮，由于使原来的直线接触线变为圆弧接触线，从而有效改善了载荷沿接触线的不均匀分布现象，减小了振动，提高了弯曲疲劳寿命。齿轮的弯曲疲劳失效是齿轮的主要失效形式之一，在每一次啮合过程都会有一定的疲劳损伤产生，齿轮在一次弯曲应力循环中，产生的疲劳损伤量δ为[7]：mF（7）其中：F为某个弯曲应力循环的最大应力，N/mm2；m为齿轮弯曲疲劳S—N曲线的指数。F可以按《机械设计》[8]弯曲疲劳公式计算：/FtFaSaKFYYbm（8）齿轮的弯曲疲劳失效作为一个随机事件，在齿轮的啮合过程中无法准确预知何时会产生弯曲疲劳失效，因此必须用随机变量来描述。根据δ可用两个随机变量WK和WD描述齿轮弯曲疲劳失效事件为[7]：mWTFTKN（9）式中：FT为齿轮弯曲疲劳试验时的应力水平，N/mm2；TN为在应力水平FT作用下齿轮产生弯曲疲劳失效时的应力循环次数。称WK为齿轮弯曲疲劳的疲劳损伤强度，它反映了齿轮抵抗弯曲疲劳失效的能力。11LLmmWiFiiFiiiDnNnN0mFFFNfd(10)式中：N，L为总的应力循环次数和弯曲疲劳应力水平的级数；Fi，in为实际弯曲应力水平及该级应力水平的实际应力循环次数；Ff为弯曲疲劳应力水平F的概率密度函数。称WD为齿轮弯曲疲劳的总疲劳损伤量，它反映了齿轮在啮合过程中，在某一定的循环次数内，承受弯曲疲劳应力作用时的疲劳损伤的累积总和。由图3可知，对于渐开线-圆弧齿轮的齿宽b为[2(sin)]bR，由公式（8）可知，同样情况下，渐开线-圆弧齿轮的弯曲应力F会更小，则对于公式（7）的疲劳损伤量δ相对更小，对于公式（9）和（10）的WK和WD仍由弯曲应力决定，可知对于渐开线-圆弧齿轮的WK和WD更小，即抵抗弯曲疲劳失效的能力更大，疲劳损伤的累积总和更小。另外，由于圆弧接触线提高了传动过程的平稳性，避免了啮合冲击，实际上也减小了齿轮因冲击而造成的齿根弯曲折断问题，提高了齿轮的寿命。4ADAMS环境下的渐开线-圆弧齿轮的传动性能分析渐开线-圆弧齿轮在啮合过程中，在受载时轴产生弯曲变形，两轮可以沿齿廓接触圆弧线相对滑动，从而能有效地改善载荷沿接触线分布不均匀的现象，从而使的振动比渐开线直齿轮的更小，传动更平稳。本文为了更好地说明经修形后的渐开线-圆弧齿轮对比传统渐开线直齿轮在传动性能上的改善。在UG/NX环境下分别构建渐开线-圆弧齿轮的装配模型和渐开线直齿轮的装配模型，这两组装配模型除齿形不同以外，其他参数均相同。将装配模型转换为Parasolid格式后，导入ADAMS中[10[11。首先对大齿轮和小齿轮中心分别施加旋转副；然后创建啮合点，并在啮合点处添加齿轮副；最后在小齿轮添加3000度/秒的转速。如图4所示为渐开线直齿轮经前处理的模型，如图5所示为渐开线-圆弧齿轮经前处理的模型。图4渐开线直齿轮图5渐开线-圆弧齿轮经前处理的模型经前处理的模型基于建好的仿真模型进行仿真，取仿真时间为0.5s，步长为300。仿真结束后，启动ADAMS/Postprocessor模块，提取相关图表进行分析。图6所示为两组模型传动的加速度对比图，图7示为两组模型传动的速度对比图。（b）渐开线-圆弧齿轮的加速度图（a）渐开线直齿轮的加速度图图6加速度对比图(b)渐开线-圆弧齿轮的速度图(a)渐开线直齿轮的速度图图7速度对比图由以上两组图表可以看到，经修形后的渐开线-圆弧齿轮与传统的渐开线直齿轮相比较，在传动过程中，速度和加速度的变化更加平滑，说明了渐开线-圆弧齿轮的传动更加平稳，那么振动和噪声相应的会更小。5结论本文研究的目的是使渐开线-圆弧齿轮广泛用于高速、重载（如重型矿山、冶金机械）的齿轮传动系统中。首先从传统的渐开线直齿轮存在的问题出发，引出修形齿轮—渐开线-圆弧齿轮，理论上阐述其在传动性能上的改善。其次，弯曲疲劳的相关公式被推导，从而解释了对弯曲疲劳寿命的改善。最后，通过计算机仿真验证了齿轮在传动性能上的改善。通过本文的理论研究和仿真分析，为渐开线-圆弧齿轮的设计与优化及实际加工制造提供了理论指导。参考文献：[1]孙恒，陈作模主编.机械原理[M].第六版.北京：高等教育出版社，2001：292，329-341.[2]HeJianing,YuanZirong,WuZhangyong.Involute-circularGear.ChineseAplicationPatent,PatentNumber:00244958.7.2001.09.05[3]崔亮.基于UG的圆柱直齿轮参数化建模及有限元分析[J].机械工程师，2010(3)：111-113.[4]白剑峰，贺靠团.基于UG的渐开线圆柱齿轮参数化设计[J].现代制造工程，2006(2)：118-121.[5]苏翼林编著.材料力学[M].上册.北京：人民教育出版社，1982：232-233.[6]肖利民，唐进元.低噪音齿轮设计方法[J].制造技术与机床，1995(5)：30-33.[7]乐晓斌，胡宗武，范祖尧.齿轮弯曲疲劳可靠度的计算方法[J].机械强度，1994，16(3)：41-45.[8]濮良贵，纪名刚主编.机械设计[M].第八版.北京：高等教育出版社，2006：198-227.[9]张伟，何家宁.基于渐开线-圆弧齿轮的数学建模及计算机仿真[J].北京电力高等专科学校学报，2010,（2）pp.189–190.[10]万会兵，姜大成，王佳峰，鹿泽伦.基于CATIA和ADAMS的齿轮传动系统动态仿真[J].现代机械，2009(2)：7，16.[11]崔清斌，吴大林，康海英.基于ADAMS的齿轮传动系统动态仿真[J].军械工程学院学报，2004，16(5)：9-12.