极坐标与参数方程15道典型题(有答案)

1极坐标与参数方程15道典型题1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C，直线2C的极坐标方程分别为sin4，22)4cos(．（1）求1C与2C的直角坐标方程，并求出1C与2C的交点坐标；（2）设P为1C的圆心，Q为1C与2C交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为1233tbyatx（t为参数，Rt），求ba,的值．（1）由极直互化公式得：4)2(:221yxC04:2yxC………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0(………5分（2）由（1）知：)2,0(P，)3,1(Q所以直线PQ：02yx，化参数方程为普通方程：122abxby，对比系数得：22112abb，2,1ba………10分2.极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线1C的极坐标方程为32cos2，曲线2C的参数方程为12tymtx，（t是参数，m是常数）（1）求1C的直角坐标方程和2C的普通方程；（2）若2C与1C有两个不同的公共点，求m的取值范围.解：（1）由极直互化公式得3)sin(cos:2221C，所以322yx；---------------2分消去参数t得2C的方程：122mxy----------------------4分2（2）由（1）知1C是双曲线，2C是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y得：0444)12(4322mmxmx，-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则0)444(12)12(1622mmm，解得：21mm或-----------10分3.已知椭圆C:22143xy，直线:l3323xtyt（t为参数）．（I）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（II）设1,0，若椭圆C上的点满足到点的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．解：（Ⅰ）C：x＝2cosθ，y＝3sinθ（θ为为参数），l：x－3y＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P(2cosθ，3sinθ),则|AP|＝(2cosθ－1)2＋(3sinθ)2＝2－cosθ，P到直线l的距离d＝|2cosθ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝35，cosθ＝－45．故P(－85，335)．…10分4..在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos(θ＋4)＝2的距离的最大值．解：（Ⅰ）设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4．消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．………………………………5分（Ⅱ）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2．C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝322，3故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋322．………………………………105.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4sin(24。现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为tytx233212（t为参数）。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l和曲线C交于BA,两点，定点)3,2(P，求||||PBPA的值。【解】（1）cos4sin4)4sin(24，所以cos4sin42。所以04422yxyx，即8)2()2(22yx。…………………………3直线l的普通方程为03323yx。……………………………………5（2）把l的参数方程代入04422yxyx得：033)354(2tt。设BA,对应参数分别为21,tt，则3321tt，点)3,2(P显然在l上，由直线l参数t的几何意义知33||||||21ttPBPA。…………………………016．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．.解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．……5分（II）设P，又C．4∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．……10分7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)将极坐标方程ρcosθ－π3＝1化为：12ρcosθ＋32ρsinθ＝1.则其直角坐标方程为：12x＋32y＝1，M(2,0)，N(0，233)，其极坐标为M(2,0)，N233，π2.(2)由(1)知MN的中点P1，33.直线OP的直角坐标方程为y＝33x，化为极方程为：ρsinθ＝33·ρcosθ.化简得tanθ＝33，即极坐标方程为θ＝π6.8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，5则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，6射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．10．设圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C上的一点M（m，s）作垂直于x轴的直线l：x=m，设l与x轴交于点N，向量．（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；（Ⅱ）设点R（1，0），求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得N是坐标（m，0），设Q（x，y），由，得，则，∵点M在圆ρ=2上，即在m2+s2=4上，∴，∴Q是轨迹方程为；（Ⅱ）Q点的参数方程为，∴．则的最小值为．711．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．812.已知曲线C的参数方程为sin51cos52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为(sinθ+cosθ)=1，求直线被曲线C截得的弦长.23.(1)∵曲线C的参数方程为sin51cos52yx(α为参数)∴曲线C的普通方程为22215xy将sincosyx代入并化简得：4cos2sin即曲线c的极坐标方程为4cos2sin..........5分(2)∵的直角坐标方程为10xy∴圆心C到直线的距离为d=22=2∴弦长为225=23..........10分13.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为13cos(t)23sinxtytì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2sin()m,(mR).4prq-=?(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129xy-++=，利用cosx，siny将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式9求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t，得到圆的普通方程为()()22129xy-++=,由2sin()m4prq-=，得sincosm0rqrq--=,所以直线l的直角坐标方程为0xym--=.(Ⅱ)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即()|12m|22，--+=解得2m=-32±14.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||AB的最大值。1015．（15年陕西理科）在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为13232xtyt（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin．（I）写出C的直角坐标方程；（II）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．【答案】（I）2233xy；（II）3,0．【解析】试题分析：（I）先将23sin两边同乘以可得223sin，再利用222xy，sinx可得C的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则2C12t，再利用二次函数的性质可得C的最小值，进而可得的直角坐标．试题解析：（I）由223sin,23sin得，从而有2222+23,+33xyyxy所以.(II)设13(3t,t),C(0,3)22P+又,则22213|PC|331222ttt，故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.