湖北八校联考—年高三数学文试题

武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学试卷2007-4-16一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.若A、B是两个不等的非空集合,则下列式子中一定成立的是()A.A∩BB.=A∩BC.A∩BD.≠A∩B2.在等差数列{an}中,a1·a3=8,a2=3,则公差d=()A.1B.－1C.±1D.±23.若tanα=2,则tan(π4＋α)的值为()A.3B.－3C.13D.－134.若一条直线与平面所成的角为π3,则此直线与这个平面内任意一条直线所成角的取值范围是()A.[π3,π2]B.[π3,2π3]C.[π3,π]D.[0,π3]5.在平面直角坐标系中,不等式组x＋y≥0x－y＋4≥0x≤1表示的平面区域面积是()A.3B.6C.92D.96.如果函数f(x)=x3－bx＋2在闭区间[－1,2]上有反函数,那么实数b的取值范围()A.(－∞,2]B.(－∞,－4]∪[2,＋∞)C.[－2,＋∞)D.(－∞,－2]∪[4,＋∞)7.如图,直线MN与双曲线C:x2a2－y2b2=1的左右两支分别交于M、N两点,与双曲线C的右准线相交于P点,F为右焦点,郝进制作若|FM|=2|FN|,又MP→=λPN→(λ∈R),则实数λ的取值为()A.12B.1C.2D.138.平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式:PA→＋PB→＋PC→=AB→,则下列结论正确的是()A.P在CA上,且CP→=2PA→B.P在AB上,且AP→=2PB→C.P在BC上,且BP→=2PC→D.P点为△ABC的重心9.两直线3x＋y－2=0和y＋a=0的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°10.△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为()A.1B.13C.223D.1或13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11.把一枚硬币投掷5次,恰好2次出现正面的概率为________12.数列{xn}的通项xn=(－1)n＋1,前n项和为Sn,则n→∞limS1＋S2＋…＋Snn=______13.不等式2x＋1|x|≥0的解集为_______14.一个五位数由数字0,1,1,2,3构成,这样的五位数的个数为_________15.一过定点P(0,1)的直线l截圆C:(x－1)2＋y2=4所得弦长为22,则直线l的倾斜角α为_______郝进制作三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin4xcos2x－4sin2x.(1)求函数f(x)的定义域和最大值;(2)求函数f(x)的单调增区间.17.(本小题满分12分)如图,在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AD中点,(1)求E点到平面A1C1B的距离(2)求二面角B－A1C1－B1的平面角的余弦值18.(本小题满分12分)一袋中装有分别标记着1、2、3、4、5数字的5个球(1)从袋中一次取出3个球,试求三个球中最大数字为4的概率.(2)从这袋中每次取出1个球,取出后放回,连续取三次,试求取出的三个球中最大数字为4的概率.19.(本小题满分12分)已知直线l:y=2x－3与椭圆C:x2a2＋y2=1(a1)交于P、Q两点,以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.(1)设PQ中点M(x0,y0),求证:x032(2)求椭圆C的方程.20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x＋1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c郝进制作(2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.21.(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和Sn=nn＋1,n=1,2,3……(1)求数列{an}的通项公式an.(2)求数列{1an}的前n项和Tn.武汉市2007届高中毕业生四月调研测试题数学参考答案(括号中的文科)1.C、2.C3.B、4.A5.D6.D、7.C、8.A9.B、10.D11.－25212.516、13.(－13,＋∞){x|x≥－12且x≠0}14.π4、16.(1)由f(x)=3sin4xcos2x－4sin2xx要满足cos2x≠0,从而2x≠kπ＋π2(k∈Z)因此f(x)的定义域为{x|x≠12kπ＋π4,(k∈Z)}又f(x)=23sin2x－2(2sin2x－1)－2=23sin2x＋cos2x－2=4sin(2x＋π6)－2∴－6≤f(x)≤2,当2x＋π6=2kπ＋π2,有f(x)=2∴x=kπ＋π6时,f(x)的最大值为2(2)由f(x)=4sin(2x＋π6)－2,2x≠2kπ±π2由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2可知:kπ－π3≤x≤kπ＋π6且x≠kπ－π4于是f(x)在[kπ－π3,kπ－π4)上为增函数,在(kπ－π4,kπ＋π6]上也是增函数.17.在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1连B1D1,则B1D1⊥A1C1,设其交点为O1,连O1B.则由三垂线定理可知O1B⊥A1C1∴∠BO1B1为二面角B－A1C1－B1的平面角.又BB1=1,O1B=22,∴tan∠BO1B1=2,从而cos∠BO1B1=13=33.(2)取DC中点F,连接EF交BD于M点,又E为AD中点,故可知EF∥A1C1,则EF∥面BA1C1,因此E到平面BA1C1的距离就是M点到平面BA1C1的距离.在对角面BA1D1D内,郝进制作过M作MH⊥O1B交OB1于H,BDM∵A1C1⊥面BB1D1D,则面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B,则MH⊥面BA1C1,又∵sin∠DBO1=23故在△MHB中,MH=BM·sin∠DBO1=324·23=32故E到平面BA1C1之距离为3218.解:(1)从袋中一次取出3个球,其中数字最大为4时的概率P=C32C11C53=310(2)从袋中每次取出1个球,取出后立刻放回,连续取三次①三次都取到4时概率P1=(15)3=1125②三次中有2次取到4时的概率为P2=C32·(15)2·35=9125③三次中有1次取到4时的概率为P3=C31·15(35)2=27125因此取出的三次球中,最大数字为4的概率P=3712519.解:(1)设直线l:y=2x－3与椭圆C:x2a2＋y2=1(a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2),右顶点A(a,0),将y=2x－3代入x2＋a2y2－a2=0中整理得(4a2＋1)x2－43a2x＋2a2=0x1＋x2=43a24a2＋1①x1x2=2a24a2＋1②∵M(x0,y0)为PQ中点∴x0=x1＋x22=23a24a2＋1=32－32(4a2＋1)故x032(2)依题意:PA→·QA→=0,则(x1－a)(x2－a)＋y1y2=0又y1=2x1－3,y2=2x2－3故(x1－a)(x2－a)＋(2x1－3)(2x2－3)=0由①②代入③得:4a4－43a3－a2＋3=0∴(a－3)(4a2－a－3)=0∵a1,则4a2－a－30故a=3故所椭圆方程为x23＋y2=120.解:(1)设直线y=6x＋1,和y=x3＋bx2＋cx＋d相切于点P(x0,y0)∵f(x)=x3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1=1,x2=2,于是f'(x)=3x2＋2bx＋c=3(x－1)(x－2)=3x2－9x＋6从而b=－92,c=6(2)又f(x)=x3－92x2＋6x＋d,且P(x0,y0)为切点,则y0=6x0＋1①y0=x03－92x02＋6x0＋d②3x02－9x0＋6=6③由③求得x0=0或x0=3,由①②联立知d=1＋92x02－x03.在x0=0时,d=1;在x0=3时,d=292∴f(x)=x3－92x2＋6x＋1,或f(x)=x3－92x2＋6x＋292(3)当d为整数时,d=1符合条件,此时P为(0,1)设过P(0,1)的直线l:y=kx＋1和y=x3－92x2＋6x＋1,相切于另一点(x1,y1).则y1=kx1＋1④y=x13－92x12＋6x1＋1⑤k=3x12－9x1＋6⑥由④⑤及x1≠0,可知:kx1=x13－92x12＋6x1即k=x12－92x1＋6再联立⑥可知k=x12－x1＋6=3x12－9x1＋6,又x1≠0,∴x1=94,此时k=1516故切线方程为:y=1516x＋1.21.解:(1)∵数列{an}的前n项和Sn=nn＋1知a1=S1=12又由an=Sn－Sn－1(n≥2)可知:an=nn＋1－n－1n=n2－(n2－1)n(n＋1)=1n(n＋1)(n≥2)又a1=12满足an=1n(n＋1)(n≥2)故数列{an}的通项公式an=1n(n＋1)(n∈N*)(2)∵an=1n(n＋1),则1an=n(n＋1)=n2＋n于是{1an}的前n项之和Tn=1a1＋1a2+…＋1an=(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋22＋32＋…＋n2)=n(n＋1)2＋n(n＋1)(2n＋1)6=n(n＋1)(n＋2)3.