建构起“立体”数学模型——《植树问题》教学与反思

建构起“立体”数学模型——由《植树问题》一课引发的思考2007年11月，在金华东苑小学举行浙江省小学数学优质课比赛，我有幸作为一名参赛者参与其中。我抽到的是《植树问题》这一赛课内容，众所周知，“植树问题”一个是经典的数奥问题，长期备受众多专家、特级老师的青睐，曾经无数次被搬上“舞台”演绎出许多经典课例。而自新课程改革实施以来，人教版教材将《植树问题》以数学广角的形式引入到四年级下册的教科书中。现在《植树问题》作为一个需要普通四年级学生学习的教学内容，它与奥数课教学有什么区别？它的教学目标如何定位？教学方式又如何选择呢？以下我将结合我的课例来谈一些想法。【课堂实录】一、创设情境，感知模型（出示情境）为了绿化校园，学校要在一条全长20米的小路一边种树。每隔5米种一棵。想一想，要种多少棵树？（3棵，4棵，5棵）师：把你的想法画出来。（白纸，水彩笔）展示想法：请3棵，4棵，5棵的分别上台摆一摆，摆好后说说你的想法。师：看看这三位同学他们用磁铁表示树，是怎么种的呢？请他们分别来说一说！（重点理解：每隔5米、间隔及两端）师：比较摆的这三种情况有什么不同？生：只种一头，两头都种，两头都不种。师：我们可以说是只种一端，两端都种，两端都不种。这两端就是路的两头。（板书）二、探究规律，建立模型1、建立表象师：下面我们先重点来研究一下两端都种的情况。如果路长是10米、15米、25米、30米，每隔5米种一棵（两端都种），各要种多少棵树呢？先想一想，再用一条线段表示小路画一画，验证一下！两端都种路长（米）画一画棵数10152530反馈交流：师：咱们一起看屏幕来交流一下！先看10米，可以种几棵？你是怎么种的？生：我是先种一棵，隔5米种一棵，再种一棵，可以种3棵。师：用这位同学的方法15米怎么种呢？先看一看。师：25米呢？看着屏幕用手指跟着种一种。师：30米又怎么种呢？闭上眼睛，你眼前出现种树的画面了吗？师：谁来说说是怎样的画面？看看，是这样吗？那全种对的举手！2、探究规律师：如果一条长1000米的小路，你们还画吗？1万米呢？那怎么办？（列式计算）师：这些你能列出算式吗？板书：10÷5+1=3（棵）15÷5+1=4（棵）25÷5+1=6（棵）30÷5+1=7（棵）师：可是这里的每个算式只能表示一种情况，要是能只用一个算式来表示所有的情况，那就了不起了！生1：A÷5+1生2：总长÷间距+1=棵数师：我发现大家不约而同的都先用“总长÷间距”，那它求的是什么？（间隔数）指着图来说一说？（几段就是几个间隔，间隔的个数就叫间隔数，而间隔数+1就等于棵数。）师：所以我们就说在两端都种的情况下，棵数=间隔数+1。2、尝试应用师：现在如果路长20米不变，每隔10米种一棵（两端都种），要种多少棵呢？请直接说算式、结果。生：20÷10+1=3（棵）师：再变一变，每隔4米种一棵（两端都种），要种多少棵？生：20÷4+1=6（棵）三、应用模型，解决问题1、基本练习（1）学校召开秋季运动会，在笔直的跑道一旁插彩旗。跑道全长100米，每隔2米插一面（两端都要插）。需要多少面彩旗？（2）在一条长36米的走廊一边摆花，每隔4米摆一盆（两端都摆）。一共需要多少盆花？（3）明明在屋旁的小路一边种树。小路全长21米，从路口开始每隔3米种一棵。至少要种多少棵树？师：不过刚才太小儿科了，敢不敢接受新的挑战？请拿出练习纸（二）独立完成基本练习3小题。师：第一题几面？几盆？生：100÷2+1=51（面）；36÷4+1=10（盆）；师：第三小题要种几棵？分别来听听他们是怎么想的？有不同意见吗？生1：21÷3+1=8（棵）因为两端都要种所以要加1。生2：21÷3-1=6（棵）因为两端都不种，至少要6棵。生3：21÷3=7（棵）因为从路口开始种，房子这端不用种树，所以至少种7棵。师：谁说的更有道理？这相当于哪一种情况？（只种一端）师：再来看看线段图，如果这一端都造了一所房子，棵数与间隔数之间有什么关系呢？（棵数=间隔数）师：你是怎么想的？生1：两端都种要加1，少了一棵，就不用加了。（了不起，你是从两端都种推出来的。）生2：一端不种，间隔数就和棵数一样了。（课件演示）师：这头也跟着造了，又有什么关系呢？（棵数=间隔数-1）师：结合图说说你是怎么理解的？小结：看来，我们在解决这类问题时，要先分清它属于哪一种情况，再根据实际选择合适的方式。2、拓展练习（1）用一根长54米的绳子剪跳绳，每6米剪一根，一共要剪几次？（2）同学们排成两行做操，队伍全长8米，每两人之间相距1米。一共有多少人？师：请静静地读题，想一想它们相当于哪一种情况，选择合适的方法算一算。汇报：它相当于哪种情况？生1：54÷6-1=8（次）（相当于只种一端）生2：8÷1+1=9（人）这相当于两端都种。五、总结延伸师：其实，像刚才那样的植树、插旗、排队等问题，它们的解题策略基本一致，我们把它们统称为“植树问题”。想一想，生活中还有这样的植树问题吗？请举例说一说！师：确实，只要我们细心观察，生活中还有更多更有挑战性的问题等着我们去解决，比如小朋友们排队，如果排成个圈儿，棵数与间隔数之间会藏着怎样的秘密呢？就留给大家课后去思考吧！【思考与感悟】《植树问题》是人教版教材四年级下册第117～120页例1、例2、例3的内容。本课内容是学生第一次在教材中接触“植树问题”，但一部分学生在兴趣小组、校外培训等活动中对“植树问题”已经有了不同程度的认识。因此，教学时，我以教材例1中生活中的植树问题引入，让学生初步感知植树问题三种常见的类型。在此基本上以两端都种的植树问题为重点展开研究，运用数形结合思想帮助学生在画一画，看一看，想一想的过程中建构植树问题的数学模型，沟通植树问题三种情况之间的联系，形成解决植树问题的基本解题策略体系。说到模型，我们头脑中会立刻跳出飞机模型，建筑模型……，它们是用不同的材料，不同的方式，根据实物的特征建构起来的。诸如此类虽无实用功能，却具备实物的基本框架结构，因而我们称之“模型”。由此可见，数学模型即是一种数学结构，是一种用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。因而，数学模型的建构不应是简单的线性的建构，而应是如同建筑模型般的三维立体的建构。那么在教学中如何建构真正意义上的“立体”数学模型呢？在经过数次教学实践后，我不断改进，不断反思，对此有了更加深入地思考。策略一：量的积累世界上任何事物的变化发展,都是首先从量的积累开始的。只有当量的积累超过一定的范围和限度才会引发质的变化。在数学模型的建构过程中亦是如此，一定的感性经验的积累是十分必要的，特别是像《植树问题》此类应用规律解决问题的课型。教材中只呈现了一个学生利用线段图探究规律解决问题的过程，而其背后所蕴涵的应是一个学生大量的实践操作的过程。只有当学生拥有了足够量的感性活动经验积累之后，才能对事物有所感悟，进而抓住问题的本质。鉴于此我是这样设计的：当学生独立尝试画出长10米、15米、25米、30米各条路上种树情况后，师生利用课件再次看线段图，回顾种树的过程。之后教师顺势问道：“如果一条长1000米的小路，你们还画吗？那怎么办呢？”学生们争先恐后地说：“可以列式计算。”学生边回答，教师边板书：10÷5+1=315÷5+1=425÷5+1=630÷5+1=71000÷5+1=201。至此实践感悟、列式解答就一气呵成了。在教师引导下学生尝试用一个算式或一句话来表示这些情况。如生1：A÷5+1；生2：总长÷间距+1=棵数。进而发现植树问题在两端都种的情况下，棵数=间隔数+1。整个学习过程中，学生不断画线段图、反复看线段图，从而积累丰富了感性活动经验，为数学模型的建构奠定扎实的基础。策略二：质的感悟量的积累成就质的感悟，但这里所指的“量”绝不是知识的简单叠加，更需要对知识的深化、突破、超越。因而，我们建构数学模型时，要抓准问题的本质，逐步积累感悟数学模型本质的东西。教材只以情境对话的形式呈现学生从一组简单数据入手，利用线段图发现规律，解决问题的对话情境，没有具体的问题解决的过程。而许多教师未能真正解读教材意图，盲目地让学生画线段图，得出规律，将数学模型的建构过程简单归结为利用表格发现规律的过程。如此简单的理解数学模型的建构是不可取。让我们通过两个课例中两张不同的表格设计来解读其中所蕴涵的不同的教学思想。课例一：表（一）课例二：表（二）课例一借助表（一）让学生在画一画、填一填的过程中发现规律（两端都种）棵数=间隔数+1，从而建构两端都种植树问题的数学模型。如此设计表面看来合情合理，然而事实却是否定的！在教师指令性的操作下，图表暗示作用下，学生虽能迅速归纳出数学模型，但对于数学模型的理解却只停留于文字表面，知其然而不知其所以然。课例二中同样是利用表格，但呈现的内容、方式变活了；同样是实践操作，但操作对象的思维得到充分展示；同样是建构模型，但更关注数学模型建构的过程。教师借助数形结合思想，充分利用线段图将植树问题中棵数与间隔数之间内在的“一一对应”联系在学生头脑中建构起清晰的表象。从表（一）到表（二）的转变，是从注重结论到注重过程的转变，是从“是什么”到“为什么”的转变，是教学思想方法的一次飞跃。策略三：形的丰满在现实生活中，植树问题披着形形色色的外衣，存在着复杂多样的情况，如安装路灯、走楼梯、锯木头，而学生常常会被这些美丽的外表所迷惑。因此，我们必须抓住它们的本质，从这些复杂的现象中抽象出它们最本质的数学模型。我在设计时考虑到实际生活的纷繁复杂，在新课伊始就将植树问题的三种不同情况（两端都种、只种一端、两端都不种）完整地呈现给学生，然后以两端都种为基础展开研究，充分利用线段图帮助学生在头脑中建构起一个完整的植树问题的数学模型。在练习设计时，我注重习题的灵活性、开放性，避免学生死记规律机械化操作。如在基本练习中我设计了“明明在屋旁的小路一边种树。小路全两端都种路长（米）画一画棵数10152530两端都种路长（米）间距（米）间隔个数棵数105155255305长21米，从路口开始每隔3米种一棵。至少要种多少棵树？”这一习题。让学生在解决具体问题情境的过程，发现并感悟植树问题其它两种情况下棵数与间隔数之间的联系，并学会根据实际情况选择合适的方式解决问题。两端都种只种一端两端都不种在这个环节中，教师利用线段图逐步建立间隔数与棵数之间的“一一对应”关系，沟通三种不同情况之间的联系，让数学模型学生头脑中完整地构建，并不断丰满起来。建构主义认为学习是在对新旧知识的否定之否定中经历无数个建构、解构与重构的过程。因此，任何一个数学模型的建构都不可能是一蹴而就的，如同制作建筑模型般，它需要充足的材料，充足的时间，更需要充足的耐心来搭建它。切莫让结果代替过程，与学生一起共同经历这个不可或缺的美妙的建构过程吧！