湖北省武汉市2014届下学期高三年级2月调研测试数学试卷(理科)含答案

1湖北省武汉市2014届下学期高三年级2月调研测试数学试卷（理科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数m(3＋i)－(2＋i)（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．甲组乙组909x215y87424已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为A．2，6B．2，7C．3，6D．3，73．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A．47尺B．1629尺C．815尺D．1631尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为2A．5B．6C．7D．86．若(9x－13x)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A．252B．－252C．84D．－847．设a，b∈R，则“a1－b2＋b1－a2＝1”是“a2＋b2＝1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为A．1116B．34C．1316D．789．若S1＝121xdx，S2＝12(lnx＋1)dx，S3＝12xdx，则S1，S2，S3的大小关系为A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S1＜S210．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为A．3＋1B．23＋2C．3－1D．23－2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．312．曲线y＝sinxx在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为．13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则（Ⅰ）f(5)＝；（Ⅱ）f(n)＝．14．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m＝；（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE⌒＝AC⌒，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝．416．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2cosθ－sinθ)－a＝0与曲线x＝sinθ＋cosθ，y＝1＋sin2θ．（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．（Ⅰ）若a＝32，b＝10，求c；（Ⅱ）求acosC－ccosAb的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求BDBC1的值．20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，5负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．21．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD中，|AB|＝22，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知→OR＝λ→OF，→CR′＝λ→CF，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：x22＋y2＝1上；（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数f(x)＝ex－1－tx，∃x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；（Ⅱ）证明：b－ab＜lnba＜b－aa，其中0＜a＜b；（Ⅲ）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋12＋…＋1n]≤1＋[lnn]（n∈N*）．6武汉市2014届高三2月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B2．D3．C4．B5．B6．C7．A8．D9．A10．D二、填空题11．3π2＋312．413．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n2－2n＋114．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或4115．21516．[0，12)三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(π2－C)．∵△ABC是锐角三角形，∴A－B＝π2－C，即A－B＋C＝π2，①又A＋B＋C＝π，②由②－①，得B＝π4．由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得(10)2＝c2＋(32)2－2c×32cosπ4，即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．当c＝2时，b2＋c2－a2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0，∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．故c＝4．……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知B＝π4，∴A＋C＝3π4，即C＝3π4－A．∴acosC－ccosAb＝sinAcosC－cosAsinCsinB＝sin(A－C)22＝2sin(2A－3π4)．∵△ABC是锐角三角形，∴π4＜A＜π2，∴－π4＜2A－3π4＜π4，∴－22＜sin(2A－3π4)＜22，∴－1＜acosC－ccosAb＜1．故acosC－ccosAb的取值范围为(－1，1)．………………………………………12分718．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a21＝(2－a1)2，解得a1＝1．当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－2（舍去）或a1＝2＋2．综上可得a1＝1或a1＝2＋2．……………………………………………………6分（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2．当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，∴→A1B＝(0，3，－4)，→A1C1＝(4，0，0)，→B1C1＝(4，－3，0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则8n·→A1B＝0，n·→A1C1＝0．即3y－4z＝0，4x＝0．令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜→B1C1，n＞|＝|→B1C1·n||→B1C1||n|＝3×45×5＝1225．故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为1225．………………………………6分（Ⅱ）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且→BD＝λ→BC1（λ∈[0，1]），∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，∴→AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．又→A1B＝(0，3，－4)，由→AD·→A1B＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925∈[0，1]．故在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时BDBC1＝λ＝925．………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2．P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14．……………………………………………4分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝18，9P(X＝2)＝P(B1-·B3)＝P(B1-)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－18－14＝58．∴X的分布列为X012P185814∴E(X)＝0×18＋1×58＋2×14＝98．………………………………………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得F(2，0)，C(2，1)．由→OR＝λ→OF，→CR′＝λ→CF，得R(2λ，0)，R′(2，1－λ)．又E(0，－1)，G(0，1)，则直线ER的方程为y＝12λx－1，①直线GR′的方程为y＝－λ2x＋1．②由①②，得M(22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2