湖北省通城二中2014届高三数学总复习限时训练一理

1湖北省通城二中2014届理数三（13）班限时训练（一）1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则记[A1，A2]是A的一组双子集拆分．规定：[A1，A2]和[A2，A1]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2，3}，那么A的不同双子集拆分共有（）A．15组B．14组C．13组D．12组【答案】由集合{1，2，3}的子集是φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，根据新定义，讨论后即可得出答案．解答：解：∵A={1，2，3}，根据规定知A的不同双子集拆分为：φ与A={1，2，3}一组，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集有四组，和{1，3}是一组双子集共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20-6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，故选B．2.对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当a＝1，b2＝1，c2＝b时，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i【答案】∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.[答案]B3.若方程083492sinsinaaaxx有解，则a的取值范围（）A.0a或8aB.0aC.3180aD.2372318a【答案】D4.已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝()A．3B．2或3C．2D．1或2【答案】选C.函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件f11fbbb＞1，即b2－3b＋2＝0b＞1，解得b＝2.5.已知实数x，y满足x≥0，y－x＋1≤0，y－2x＋4≥0，若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为()2A．2B．1C．0D．－1【答案】选B依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.6.已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为()A．(－24,8)B．(－24,1]C．[1,8]D．[1,8)【答案】f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x∈[－2，－1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故m8，m≥1，即m∈[1,8)．[答案]D[题后悟道]解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式．注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响．如该题中f(－2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上的零点个数，若m＝8或－24m1，则该方程有2个根；若m＝－24，则该方程有1个根；当m8或m－24时，则该方程没有实根．总之，解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想，利用导数研究函数的有关性质，主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值，然后画出函数图象，结合函数图象的特征判断、求解．7.已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f（x）+x1）=1，则f（1）=.【答案】设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,f(t+1)=1/t又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1，即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1即f[1/t+1/(t+1)]=t又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在（0,+无穷）上的单调函数知31/t+1/(t+1)=1即t^2-t-1=0解得:t=251(经检验，当t=251时，f(x)单减，当t=251时，f(x)单增）8.已知函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（-1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是.【答案】y′=3x2+2x+m∵函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（-1，2）上不是单调函数∴y′=3x2+2x+m=0在区间（-1，2）上有解，即△=4-12m＞0，f（2）＞0求得)31,16(m9.y2=x与直线x-2y-3=0所围图形的面积为．【答案】解法一：先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)，如图把所求面积的平面图形分成S1，S2两部分，分别求得它们的面积A1,A2：A1=10[()]xxdx=210xdx=43;A2=91328()23xxdx所以A=A1+A2=43+283=1023解法二：本题也可把抛物线与直线方程写成x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y),应用公式对y求积分便得：A=3211[()()]gygydy=321[(23)]yydy=1023评注：1.求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限；（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分的表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．10.已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；4(2)设bn＝1an，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的关系式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．【答案】(1)由点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上，即an＋1－an＝1，且a1＝1，即数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．则an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．(2)假设存在满足条件的g(n)，由bn＝1n，可得Sn＝1＋12＋13＋…＋1n，Sn－Sn－1＝1n(n≥2)，nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1，…2S2－S1＝S1＋1.以上(n－1)个等式等号两端分别相加得nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＋n－1，即S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2.令g(n)＝n，故存在关于n的关系式g(n)＝n，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立．