湖北省黄冈中学孝感高中2013届高三上学期期末联考数学文(Word版含解析)

湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（文科）一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩BB．A∪BC．CU（A∩B）D．CU（A∪B）考点：交、并、补集的混合运算．.专题：计算题．分析：先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．解答：解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=CU（A∪B）．故选D．点评：本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）已知是虚数单位，则（）2013的值是（）A．iB．﹣iC．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．.专题：计算题．分析：利用=i，再利用i的幂的性质即可求得答案．解答：解：∵=i，i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，即in的值是以4为周期出现的，故=•=i2012•i=i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i及其性质，属于中档题．3．（5分）某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为（）A．14B．16C．20D．25考点：分层抽样方法．.专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，结合高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，得到要抽取的高三的人数．解答：解：∵高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，且已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，∴高三年级观看演出的人数为=20，故选C．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1；命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧﹣q”是真命题C．命题“﹣p∧q”是真命题D．命题“﹣pv﹣q”是假命题考点：命题的真假判断与应用．.专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质及基本不等式可判断命题p的真假；根据二次函数的图象和性质及对数函数的单调性，可判断命题q的真假，进而复合命题真假判断的真值表可判断四个答案的正误．解答：解：∵2x＞0，2﹣x＞0，则由基本不等式可得2x+2﹣x≥2故命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1为假命题；∵x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，故lg（x2+2x+3）≥lg2＞lg1=0故命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0为真命题故命题“p∧q”是假命题命题“p∧﹣q”是假命题命题“﹣p∧q”是真命题命题“﹣pv﹣q”是真命题故选C点评：本题以命题真假判断为载体考查了指数函数对数函数及二次函数的图象和性质，其中根据函数的图象和性质判断出两个简单命题的真假是解答的关键．5．（5分）已知平面向量、满足||=2，||=1，且2﹣5与+垂直，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．.专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵，∴，化为，∵||=2，||=1，∴2×22﹣=0，∴．∴===．又．∴．故选B．点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式是解题的关键．6．（5分）已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，则“a≤8”是“+≥a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得“+≥a恒成立”等价于a≤9，再根据{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，从而得出结论．解答：解：∵已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，∴+=（x+y）（+）=5++≥9，当且仅当x=且y=时，取等号．故“+≥a恒成立”等价于a≤9．而{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，故“a≤8”是“+≥a恒成立”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣3=0B．x﹣y+1=0C．x+y﹣3=0D．2x﹣y+3=0考点：直线与圆相交的性质．.专题：直线与圆．分析：由直线和圆相交的性质可得当∠ACB最小时，直线AB与直线MC垂直，根据两条直线垂直的性质，求得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．解答：解：由于点M（1，2）在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的内部，由直线AB和圆相交的性质可得，当∠ACB最小时，圆心C到直线AB的距离最大，此时，直线AB与直线MC垂直．由于直线MC的斜率为=1，则所求直线l的斜率为﹣1，由点斜式求得直线l的方程是y﹣2=﹣1（x﹣1），即x+y﹣3=0，故选C．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题．8．（5分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．则下列定义在R上的函数中，不是有界函数的是（）A．f（x）=sinx2B．f（x）=C．f（x）=﹣21﹣|x|D．f（x）=﹣log2（|x|+1）考点：函数的值域．.专题：计算题；新定义．分析：利用基本初等函数的性质，对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．解答：解：对于A：|f（x）|=|sinx2|≤1；对于B：∵x2≥0，∴x2+1≥1，于是≤1，∴|f（x）|=≤1；对于C：∵|x|≥0，∴1﹣|x|≤1，∴21﹣|x|≤21=2，|f（x）|=|﹣21﹣|x||=|21﹣|x||=21﹣|x|≤2；对于D：|f（x）|=log2（|x|+1）≥0，故f（x）=﹣log2（|x|+1）为无界函数．故选D．点评：本题考查函数的值域，考查基本初等函数的性质，属于中档题．9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，都有点（an+1，Sn）在直线2x+y﹣2=0上．若数列{Sn+}为等差数列，则λ的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等差关系的确定；数列的求和．.专题：等差数列与等比数列．分析：利用通项an与其前n项和之间Sn之间的关系即可得出Sn，再利用等差数列的定义即可得出λ的值．解答：解：由题意可得：2an+1+Sn﹣2=0，而an+1=Sn+1﹣Sn，∴2（Sn+1﹣Sn）+Sn﹣2=0，可化为2（Sn+1﹣2）=Sn﹣2，∵a1=1，∴S1﹣2=﹣1≠0，∴，∴数列{Sn﹣2}是以﹣1为首项，为公比的等比数列，∴，即Sn=．∴==2+λn+．，则，，．∵b1，b2，b3成等差数列，∴2b2=b1+b3，即，解得λ=2．当λ=2时，Sn=2n+2，数列{Sn}是以4为首项，2为公差的等差数列．故存在实数λ=2，使得数列{}成等差数列．点评：熟练掌握等差数列的定义及关系是解题的关键．10．（5分）规定[x]表示不超过x的最大整数，f（x）=，若方程f（x）=ax+1有且仅有四个实数根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，﹣）B．[﹣．﹣）C．[﹣，﹣）D．[﹣，﹣）考点：根的存在性及根的个数判断．.专题：函数的性质及应用．分析：分析函数的特点，作出函数的图象，把问题转化为两函数让图象的交点问题，结合图象由斜率公式可得答案．解答：解：当x∈[0，+∞）时，f（x）是以1为周期的函数，且f（x）=x﹣k，x∈[k，k+1）（k∈N），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）是指数型函数，而y=ax+1为过定点（0，1）斜率为a的直线，在同一个坐标系中作出它们的图象为：由图象可知，当直线介于两红色线之间时，符合题意，而它们的斜率分别为，，故实数a的取值范围为：[，]，故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是1．考点：简单线性规划．.专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，并求出可行域各个角点的坐标，分别代入目标函数，计算目标函数的值，比照后可得最优解．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示∵目标函数z=2x+y∴zA=1，zB=7，zC=5，故在A（1，﹣1）处目标函数达到最小值1．故答案为：1点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，熟练掌握其解答过程和步骤是解答的关键．12．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．.专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：：由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，8，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力判断能力，以及空间想象能力．13．（5分）已知如图所示的程序框图，当输入n=99时，输出S的值是．考点：程序框图．.专题：计算题．分析：由图知，每次进入循环体后，新的S值是原来的S加上得到的，故由此运算规律进行计算，当i=99时输出的结果即可．解答：解：由程序框图有：每次进入循环体后，新的S值是原来的S加上得到的，当i=99时S===．故答案为：点评：本题考查循环结构，通过运算规则求解最后运算结果，是算法中一种常见的题型．14．（5分）已知圆M：x2+y2=4，在圆M上随机取一点P，则P到直线x+y=2的距离大于2的概率为．考点：几何概型．.专题：概率与统计．分析：利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=2的距离为，故到直线x+y=2距离为的点在直线x+y=2关于原点对称的直线AB：x+y+2=0上，满足P到直线x+y=2的距离大于2的点位于劣弧AB上，且∠AOB=90°．故概率P=．故答案为．点评：熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键．15．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），它的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，当函数f（x）的图象向右平移个单位时，得到函数g（x）的图象，并且g（x）是奇函数，则φ=．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．.专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，求出函数的周期，即可求出ω，通过函数的图象的平移，求出新函数，通过函数的奇偶性，求出φ即可．解答：解：函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，所以函数的周期为：T=，则ω==2，所以函数y=2sin（2x+φ），故函数f（x）的图象向右平移个单位时，得到函数g（x）=f（x﹣）=2sin[2（x﹣）+φ]=2sin（2x+φ﹣），函数是奇函数有：φ﹣=kπ，k∈Z，|φ|＜解得：φ=．故答案为：．