湖南省永州祁阳二中2015届高考数学三模试卷(理科)(Word版含解析)

版权所有：中华资源库届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4iB．3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+4i2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是y=sin（ωx+ψ）（ω＞0，|ψ|＜π），则（）A．ω=，ψ=﹣B．ω=2，ψ=C．ω=2，ψ=0D．ω=2，ψ=5．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．36．（5分）“a≥0”是“函数f（x）=|x+a|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣lB．0＜a＜lC．a≥lD．a＞18．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）版权所有：中华资源库．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，Sm=（m，n∈N*且m≠n），则下列各值中可以为Sn+m的值的是（）A．2B．3C．4D．510．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2αC．sin2β=﹣2βsin2βD．cos2β=﹣2βsina2β二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）若，则k=．12．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．13．（5分）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．14．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣1，则数列{an}的通项公式为an=．（n∈N*）15．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据上面探究结果，解答以下问题：版权所有：中华资源库（1）函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心坐标为；（2）计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数，x∈R（1）求的值；（2）若，求．17．（12分）已知不等式的解为（1）求m，n的值；（2）解关于x的不等式：（2a﹣1﹣x）（x+m）＞0，其中a是实数．18．（12分）已知△ABC中，AC=1，∠ABC=，∠BAC=x，记f（x）=•．（1）求f（x）解析式并标出其定义域；（2）设g（x）=6mf（x）+1（m＜0），若g（x）的值域为上的最小值；（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．湖南省永州市祁阳二中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4iB．3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．版权所有：中华资源库解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．解答：解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．点评：本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．版权所有：中华资源库点评：熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是y=sin（ωx+ψ）（ω＞0，|ψ|＜π），则（）A．ω=，ψ=﹣B．ω=2，ψ=C．ω=2，ψ=0D．ω=2，ψ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：第一次变换后得到的图象的解析式为y=sinx，第二次变换后得到的图象的解析式是y=sin（2x），而已知第二次变换后得到的图象的解析式是y=sin（ωx+ω），从而得到sin（2x）=sin（ωx+ψ），由此求得ω和ψ的值．解答：解：把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，所得图象的解析式为y=sin（x﹣+）=sinx，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是y=sin（2x），故有sin（2x）=sin（ωx+ψ），∴ω=2，ψ=0，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．5．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）“a≥0”是“函数f（x）=|x+a|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件版权所有：中华资源库．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，结合函数的对称性，从而得到答案．解答：解：f（x）的图象关于x=﹣a对称，函数在（﹣∞，a）递减，在（a，+∞）递增，若a≥0，能推出函数f（x）=|x+a|在区间（0，+∞）内单调递增，是充分条件，若函数f（x）=|x+a|在区间（0，+∞）内单调递增，得到a≥0，是必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了函数的单调性，是一道基础题．7．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣lB．0＜a＜lC．a≥lD．a＞1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围．解答：解：不等式的可行域将目标函数变形得y=ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y=ax将a变化，结合图象得到当a＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大．故选D．版权所有：中华资源库点评：利用线性规划求函数的最值，关键是正确画出可行域，并能赋予目标函数几何意义，数形结合求出函数的最值．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，Sm=（m，n∈N*且m≠n），则下列各值中可以为Sn+m的值的是（）A．2B．3C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先设出等差数列的前n项和，由已知Sn=，Sm=列式求出A，B，代入后利用基本不等式得到Sn+m的范围，则答案可求．解答：解：∵{an}是等差数列，∴设，版权所有：中华资源库则，两式相减得，B（m﹣n）=0，故．∴，∴只有D符合．故选：D．点评：本题考查了等差数列的前n项和，解答此题的关键是明确等差数列前n项和的形式，是基础题．10．（5分）已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α、β（α＜β），则下列的四个命题正确的是（）A．sin2α=2αcos2αB．cos2α=2αsin2αC．sin2β=﹣2βsin2βD．cos2β=﹣2βsina2β考点：余弦函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：将方程=k转化为|cosx|=kx，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．解答：解：∵=k，∴|cosx|=kx，∴要使方程=k（k＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx（k＞0）在（0，+∞）上有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=﹣2sinβcosβ，∴sin2β=﹣2βsin2β，故选：C．版权所有：中华资源库点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共