格林函数与输运

1《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运内容提要：1概述；2单粒子性质的格林函数表述；3用格林函数推导迁移率中1项1概述1．1金属中电子输运特性对于金属*me，0en，是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0t时一个处于某动量本征态的电子在t时完全失去了对其原有动量的记忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：ii11即输运驰豫时间由各种机构中i最小的决定。绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see,p.131inRef.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessenrule，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。1．2半导体输运特性半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不2等价原子之间的相对移动所引起的形变势（光学波形变势散射）；在极性晶体中伴随光学波的极化所产生的微扰势（极性光学波散射）。后者只有纵光学波（LO声子）才产生，横光学波不产生。对于离子性晶体，这时电子与LO声子形成极化子（详见后文）。各种散射机制中，电离杂质散射﹑声学声子形变势散射﹑压电散射中驰豫时间与电子能量的关系可统一地写成[2]rE0对于不同的散射机构0和r有不同的值。电离杂质散射r=3/2；声学声子形变势散射r=-1/2；压电散射r=1/2。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。对于极性光学声子散射不能有驰豫时间的定义。对于不同的散射机构，i随温度的变化关系不同。电离杂质散射I～2/3T；声学声子形变势散射as～2/3T；压电散射PZ～2/1T。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。在低温下I值最小，所以低温下主要散射机构是电离杂质散射。典型半导体中各种散射机构下迁移率温度的变化关系如图2（p.135inRef.2）所示。一般地0en中电子浓度0n可通过霍尔效应精确测定，0n叫做霍尔迁移率，它与我们常规定义的电导率迁移率相差一个常数因子。图3(Fig.7.9inRef.3)是CdTe霍尔迁移率的温度依赖关系。1．3极性光学波散射长期以来电导问题是用Boltzmann方程处理的[4]。1958年Edward首先将格林函数方法应用于输运问题。Kadanoff和Baym用格林函数方法证明，在金属中只有kFl1时Boltzmann方程才是正确的，这里kF是费米波矢，l是平均自由程。现在格林函数已经用于推导很多不同系统的输运性质，包括Boltzmann方程不适用的情况。格林函数方法的优点是，用它可以推导出输运系数的准确表达式，然后在各种条件下作近似计算。严格的计算必须同时考虑晶格振动和杂质对电子的散射。单独考虑这两种散射时计算方法非常相近。下面只考虑晶格振动（LO声子）的散射，不考虑杂质散射，电子哈密顿为Frohlich极化子的哈密顿[3])(12/100qqpqpqpqqqppppaaccqMaaccH(7.2.1)2/12/3020)2()(4BmM3)11()2(02/102BmeBpmp22其中0为LO声子的频率。我们讨论弱耦合(1)的情况，所以极化子尺寸很大，是所谓的大极化子。1．4极化子迁移率理论有许多关于极化子迁移率的理论[3]，例如（1）通过求解Boltzmann方程(BE)；（2）通过计算电流-电流关联函数（见后文）；)0().(1)(0uuijjTedi式中u是(x,y,z)之一，当系统各向同性时)0().(31)0().(jjTjjTuu所以)0().(31)(0jjTedii。令ii则可由电流-电流关联函数得到推迟的电流-电流关联函数。]})({Im[lim0ret(久保公式)0说明得到的是直流电导。在久保公式中，为了求直流电导需要先计算交流电导，然后取极限0。若开始就从直流电场出发则计算要麻烦一些。久保的上述理论又叫线性响应理论。（3）通过计算力-力关联函数；)0().(31)(0FFTediRi令ii则可由力-力关联函数得到推迟的力-力关联函数。]})({Im[lim10202retRne力-力关联函数的严格推导是由Mahan给出的。（4）通过求解量子Boltzmann方程(QBE)。QBE与BE的差别是：BE是关于分布函数),,(trvf的微分方程；而QBE是关于Wigner分布函数),,,(trkf的微分方程。4这些理论各自不同，但在弱耦合(1)和低温（10）极限下结论是一致的，这些理论都预言00000)1(2lim0ememeBBT(7.2.2)00021N1100eN(7.2.2)对于检验理论是有用的，但在同实验比较方面无能为力，原因是（1）在温度2/10范围，迁移率的计算只考虑了光学声子散射。这是一个低温理论，我们需要能在更高温下计算迁移率的理论（2）我们感兴趣的大多数材料的极化子耦合常数都在中间耦合（31）的范畴内。所以我们需要一个在中间耦合下适用的计算迁移率的理论。在这方面最成功的是费曼路径积分方法。对于中间耦合和高温的情况，格林函数并不擅长，所以我们下面的计算仍限于低温弱耦合的情况。我们通常采用的方法是1964年Langreth和Kadanoff用过的方法（1）利用格林函数从久保公式出发推导(7.2.2)式。迁移率可写成幂级数形式221001aaaa(7.2.3)得到(7.2.2)即得到上面级数的首项（1项）；（2）在上面基础上获得量级为0的所有修正项。定义0002NmeB则L-K结果为)(61120O(7.2.4)这个结果同用下面方法，即由*me，然后将*,m分别按展开：)(120O，611*Bmm)(2O得到的结果精确符合。我们将推导L-K公式中的第一项（即1项）。2单粒子性质(see,Section7.2ofRef.[3])我们用格林函数来表述单粒子性质。因为是在低温单声子情况下，所以用零5温格林函数。首先看电子自能。自能算符是一个非局域的且与能量kE有关的非厄密算符。由于非厄密，kE一般为复数，实部代表多体效应引起的能级移动，而虚部为粒子在该状态寿命的倒数。电子自能的实部为),()(sin)()],(Re[202/101)1(2/12/30NOpppp在零温上式退化为)],,(3121[)],(Re[22)1(0pppOp(7.2.6)根据自能我们可写出有效质量*m和重整化系数（或重整化因子）Z的表达式)(211)211()1(211000OZpp611211311)1()(000*ppBzmm(7.2.7)我们用到的另一个量是寿命，电子寿命定义为)]},(Im[2){()(1pEppZp(7.2.8)1)1()(pEppZ这里Z(p)是重整化系数。(7.2.8)式中我们计算的是pE点的自能（虚部），而不是0点的自能（虚部）。Ep是粒子的基态能量，它可从方程)],(Re[pppEpE中自恰计算求得。这个方程近似为)1()],(Re[retpppEpE。作为一级近似，Ep也可由下法得出：将Ep展开为幂级数形式)(242*20pOpmEEp显然ppEE00lim=)1(0)],0(Re[retE。6根据参考文献[3]第六章算出的一阶电子自能)1(2/1002/300)()],0(Re[retEE即2/1002/300)(EE从中展开得到020)(OE所以)(242*20pOpmEp。由(7.2.8)式我们看到Z(p)与寿命的定义有关。下面我们看Z(p)的物理意义。由谱函数的定义2)][Im()],(Re{)],(Im[2)],(Im[2),(ppEpGpApret(7.2.9)在0Im的极限下，谱函数变成一个函数（表示能量守恒）和重整化系数的乘积)(2)()]},(Re[{2),(lim0ImpppZppA推迟格林函数定义为),(2)(),(pAeidttpGtiret(7.2.10)根据格林函数的衰减我们可定义弛豫时间。在谱函数的峰值pE附近我们有)Re()()],(Re[)],(Re[pppEpp)(])Re(1)[(pZEEpp这样谱函数近似为222)][Im(/){)Im(2),(ZEpAp上式用(7.2.8)定义的弛豫时间改写为22)2/(){)(/1)(),(pEppZpA这样(7.2.10)变成)()(),(2/teepiZtpGtitEretp7由此可知，Z是准粒子强度，即衰减波的振幅。我们还可以从另外一个角度来理解寿命定义中的因子Z。)Im(2（寿命的倒数）是态),(p衰减的速率，而Z是准粒子强度的一部分，准粒子强度的其余部分通常色散掉了。现在我们可以计算单声子自能对准粒子寿命的贡献了。由表达式)]()1()([)2(2)],(Im[2000022033qpqpNNqMqdp])()(ln)()1()()(ln)([)(2/102/10002/102/10002/12/30pppppNN(7.2.11)在0,00p时)](2/[2)(2)],0(Im[202002/102/300ONN)](2/1[2)],0(Im[22000ON这样寿命)](1[1)211)(211(1)]Im(2[1200OZ3迁移率中1项的推导(see,Section7.2ofRef.[3])利用久保公式计算电导率)0().(31)(0jjTedii]})({Im[lim0ret0ene和n0分别是电子电荷和浓度。一阶项为),(),(1)2(3)(23322)0(iippGippGppdmeinipnBn])([),(2)2(3223322)0(