点线面的关系及角与距离的计算

数学培优专题讲座2008·寒假高一数学《点线面的关系及角与距离的计算》■■■第1页共4页■■■五、点线面的关系及角与距离的计算【例题】1．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．2．在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足PDCPQDAQNBCNMBAM=k．求证：M、N、P、Q共面．3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成60°的二面角．（1）求异面直线AC与BD的距离；（2）求三棱锥CABD的体积；（3）求D到面ABC的距离．4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．5．在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点．（1）求证：四边形B′EDF是菱形；（2）求直线A′C与DE所成的角．6．如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N、Q分别是PC、AB、CD中点．（1）求证：MN∥PAD；（2）求证：平面QMN∥平面PAD；（3）求证：MN⊥平面PCD．AB)(CDCEOA'ABCDEF'B'C'DGPABCDMNQ数学培优专题讲座2008·寒假高一数学《点线面的关系及角与距离的计算》■■■第2页共4页■■■7．已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角；（4）侧面与底面所成的角．8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30角．求二面角B-B1C-A的正弦值．9．已知SA⊥平面ABC，SA=AB，AB⊥BC，SB=BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D．（1）求证：SC⊥面BDE；（2）求二面角E—BD—C的大小．10．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC＝60，PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．ABC1A1B1CSABCDESABCDMPDABCE数学培优专题讲座2008·寒假高一数学《点线面的关系及角与距离的计算》■■■第3页共4页■■■（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角A－EB－D的正切值；（3）求点E到平面PBC的距离．12．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是3，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求二面角A-EF-B的大小；（3）点B1到面AEF的距离；（4）平面AEF延伸将正四棱柱分割成上下两部分，求V上∶V下．【习题】一、选择题1．如果平面外一条直线l与内的两条直线垂直，那么l与的位置关系是()A．l平行B．l重直C．l与斜交D．不能确定2．如果a、b是异面直线，则ab的公垂线()A．不一定存在B．有且只有一条C．可能有一条也可能有无数条D．一定有无数条3．设a、b是异面直线，那么()A．必然存在唯一的平面同时平行于直线a和bB．必然存在唯一的平面同时垂直于直线a和bC．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线bD．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b4．如图，已知角BAC是二面角a的平面角，那么下列各结论中错误的是()A．BA是AC在内的射影B．AC是AB在内的射影C．A垂直平面ABCD．AB垂直AC5．下列四个命题中，假命题是()A．若平面内有两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则∥B．平行于同一平面的两个平面平行C．如果平面内有无数条直线都与平面平行，则平行D．如果平面内任意一条直线都与平面平行，则平行6．如图，已知AA1与BB1是异面直线，且AA1=2，BB1=1，AB垂直BB1，A1B1垂直BB1，则AA1与BB1所成的角为()数学培优专题讲座2008·寒假高一数学《点线面的关系及角与距离的计算》■■■第4页共4页■■■A．30°B．60°C．45°D．90°二、填空题7．过四条平行直线，最多可确定______个平面．8．如果直线a∥平面，a⊥平面，则平面与所成的二面角等于____．9．已知长方体ABCDA'B'C'D'中棱AA'=5，AB=12，那么直线B'C'与平面A'BCD'的距离为____．10．直线m⊥平面，平面⊥平面，则直线m与平面的位置关系是．三、解答题11．已知：三角形ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm．（1）求点P到平面ABC的距离；（2）求PA与平面ABC所成角的余弦．12．已知：如图,PA矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点．求证：MNAB．13．已知在三棱锥S-ABC中，∠ACB=900，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D．求证：AD⊥平面SBC．14.四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB=a，E、F是侧棱PD、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求直线PC与底面ABCD所成角θ的正切值．15.在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F分别是AB、CD的中点.（1）求线段EF的长（EF是两异面直线AB与CD的公垂线)；（2）求异面直线BC、AD所成角的大小.16.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD于A，PC⊥平面AEFG，且分别交PB、PC、PD于E、F、G．（1）求证：面PAB⊥面PAD；（2）求证：A、E、F、G四点共圆．