概率知识在实际生活中的应用

概率知识在实际生活中的应用王昊摘要：概率论在实际生活中有着广泛的应用，主要通过分析概率论在经济，博彩等方面的应用，力图向人们揭示概率论在生活中的应用是无处不在的.运用概率论知识结合数学期望和方差，对日常生活中的一些看起来比较平凡的事例做具体分析，常常会得到深刻的结果，在学习概率论知识的同时也可以增加人们对概率论知识的兴趣.通过对具体问题的分析可以看出概率方法与思想在解决问题中的高效性，简洁性和实用性.关键词:概率论；投资；博彩；生活中的应用1引言及预备知识随着近年来科学技术的飞速发展，数学知识在生活中的应用也越来越广泛，从原来呆板的书本知识逐渐变成了人们解决生活问题的一种必不可少的方法.概率作为数学的一个重要组成部分，发挥着举足轻重的作用.概率，简单地说，就是描述一件事情是否会发生的可能性的大小.比如说太阳每天从东边升起西边落下，这件事的概率是100%或者说1.因为它肯定会发生；而太阳从西边升起东边落下，这件事的概率就是0.因为它肯定不会发生.但生活中很多现象是既有可能发生又有可能不发生的，比如投硬币时数字朝上的概率，掷骰子时掷到6的概率，买彩票中奖的概率等等，这类事件发生的概率均介于0和100%，或者说0和1之间.在日常生活中无论是股票涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定，需要“运气”来解决的事件，都可以用概率模型来进行定量分析，从而得出结果.定义1.二项分布：进行n次独立重复的伯努利试验，每次试验事件A发生的概率为p，若以表示n次独立重复的伯努利实验中事件A发生的次数，那么容易求得的分布列是P(i)=inCip1iq，i=0,1,2…,n,其中0p1,q=p1,这种分布成为二项分布.二项分布第n项记为b(pni,;)=inCip1iq定义2.泊松分布：在n次独立重复的伯努利试验中，以np表示每次实验事件A发生的概率，它与试验总次数n有关，若nlimnnp=(为常数)，则对任意确定的非负整数k，有);;(limnnpnkb=ekk!，k=0,1,2,….在实际应用中，若n很大，（一般n10），p充分小（一般p0.1），使np大小适中，此时可取np，有b(pnk,;)ekk!.泊松分布实际是二项分布n很大而p很小时的特殊形式，是二项分布的逼近公1式.定义3.伯努利大数定律：设n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，而P是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意0，都有1)(limpnPnn.伯努利大数定律实际上阐述了“频率稳定与概率”的含义.2概率与投资2.1概率论在风险投资中的应用在风险投资中，如何规避风险并获得最大收益是投资的重要研究课题，其中“不要把一个鸡蛋放在一个篮子里”就是非常重要的投资原则之一，类似的原理在电路设计等领域广泛应用.例1已知某种电子元件独立出现故障的概率是0.3，如果不考虑电源电压和导线对于电流的限制，试分析下列三个电路哪个最好？图1图2图3图1，图2和图3中的电子元件的1L,2L和3L正常工作的事件分别记为1L和2L和3L.由条件知，3种事件1L,2L,3L相互独立，且P(1L)=0.7，i=1,2,3.对电路图1，要保证电路运行畅通，1L必须正常工作，而2L,3L两者之中至少有一个正常工作，即事件A=1L(2L3L)发生.由概率的运算性质，知该电路正常工作的概率为P（A）=P(1L)P(2L3L)=P(1L)[P(2L)+P(3L)-P(2L3L)]=637.07.07.0077.07.0.对电路图2,要保证电路运行通畅，1L,2L和3L必须都工作正常，即事件B=1L2L3L发生，其概率为P（B）=P(1L2L3L)=P(1L)P(2L)P(3L)=0.70.70.7=0.343.对电路图3，要保证电路运行通畅，1L,2L,3L必须至少有一个工作正常，即事件C=1L2L3L发生，其概率为P(C)=1-P(C)=1-P(1L2L3L)=1-P(1L)P(2L)P(3L)=1-0.30.30.3=0.973.通过以上分析，可以看出相当于把鸡蛋分别放在三个篮子里的电路图3最稳2定，而把鸡蛋放在同一个篮子里的电路图2最不稳定，把鸡蛋分别放在两个篮子里的电路图1的稳定性介意电路图2和电路图3两者之间.2.2概率论在决策投资中的应用近10年来，保险产业在中国的土地上蓬勃发展，是什么让更多的人从事保险行业？是什么让更多的人产生了购买保险的意识？是什么让更多的钱流入了保险这一产业？在中国保险监督管理委员会官方网站上进行的一项调查中显示，在购买保险的人群中，人们看中的首先是产品的保障功能及诚信规范水品，其次就是产品的理赔和服务.在人们自我保护意识和风险投资意识加强的同时，购买保险的人也越来越多，其中最为常见的保险如人身保险，其保费为几百元不等，但在发生事故后便可以获得几万甚至几十万的保险理赔.而实际上，保险公司从来做的都是稳赚不赔的生意.例2某保险公司新推出一项保险业务，被保险人若在购买保险1年内发生在保单范围内的事故，则保险公司要赔偿A元，若在1年内事故发生的概率为p，为使保险公司收益的期望值等于B元，则保险公司应要求顾客缴纳多少保险费？解用表示保险公司的收益额，x为顾客缴纳的保险金，则的取值为x，Ax，且有P{=x}=p1,P{=Ax}=p,因此)(E=pAxpx)()1(其中E()=B，所以x=BAp，即保险公司要求顾客交纳BAp元的保险费.保险、股票等风险投资，都带有一定的随机性，运用数学期望这一随机变量的总体特征来预测收益，或决策投资是比较客观的.2.3概率论在商业投资中的应用在人们的物质生活越来越富足，手头有了更多存款的同时，许多人选择了投资.所谓投资就是用某种有价值的资产，其中包括资金、人力、知识产权等投入到某个企业、项目或经济活动，以获取经济回报的商业行为或过程.近几年来，楼市一直居高不下，直到房地产调控政策出台，终于给风风火火的楼市降了温.例3若现有100万可用于作一年的投资，该如果制定出一个合理的投资方案？以上两种投资相互独立，投资的比例、投资收益率、风险程度由下表得投资比例与年收益率，风险程度的关系投资项目随机收益商业：X股票：Y投资的比例m1-m投资年收益率12风险程度2122X和Y分别表示各自的随机收益，相关系数为p,故组合收益为3Z=YmmX1,所以年平均收益（数学期望）为21)1()(mmZE,该投资方案的风险（方差）为：D(Z)=D{YmmX1}=21222212)1(21mpmmm,要求最小组和风险，即求D(Z)关于x的极小值点，令xZD)(=0，得到x=21222121212pp.故这样的x,可以使得保证在投资风险最小的情况下，去得有保障的收益.综上，在一般风险估算中，方差的应用非常广泛，常常用来评估风险.这样的概率计算在经济学中也广泛应用.3概率与博彩3.1概率论在彩票中的应用14世纪，随着商业贸易日益发展，航海事业日新月异，出现了海上保险事业.到16世纪时，人寿保险事业及水灾，火灾等保险事业也相继出现，它们都向数学提出了新的要求，要求应用数学来分析和研究随机现象中蕴含的规律，估计事故发生的可能性大小，这就促进了数学家们对概率与数理统计的研究.因此可以说，概率论与数理统计的兴趣是由保险事业的发展而产生的，但最初激发数学家们思考概率论的一些特殊问题却是来自赌博者的请求.例如卡当在其《赌博论》一书中已计算了掷两颗或三颗骰子时在一切可能方法中有多少方法得到某一总点数.例4近期，在多地查处的学校门口销售“学生彩票”事件，面值0.50元，彩票中奖概率为0.01，这里不考虑奖品等级，只考虑中奖与否对小学生们购买心理的影响.中奖概率为1%，买了100张怎么都没有中，别人买了10张，怎么就中了呢？抱有这样的心理，小学生们一发不可收拾，无端受了非法销售者的蛊惑.由于每次购买彩票是独立进行的，X表示中奖次数，n表示购买次数，则bX:(n,0.01).若取n=100，至少一张中奖的概率可以用泊松分布来近似P(X1)=1-P(X=0)=1-10099.01-10e，np=10，即随着n的变化，可得下表购买张数和至少1张中奖的概率关系购买张数n=10N=50n=100N=300n=500N=600至少一张中奖概率0.09560.39500.63400.95100.99340.9976由此可见，买100张中奖的概率仅为0.6340，也就以为这未必中奖.买10张的概率为0.0956，接近0.010，可由伯努利大数定律给出解释，即随着n的增大，事件A发生的频率是依概率收敛于概率的.通过上例可以看出买100张的概率并不是买10张的10倍，他们是相互独立的.而在销售彩票现场，假设每人买10张，同一时间段内，购买彩票的人数很多，5004张乃至600张以上是很容易实现的，于是至少一张中奖的概率为0.9976，这就是为什么福彩总有人中巨奖，而自己不容易中奖的原因.难道这些所谓的小概率事件就这么遥不可及么？概率论的知识告诉我们，小概率事件必然发生！俗话说，常在河边走，哪能不湿鞋.例5若在河边走“湿鞋”的概率是p，则第一次河边走时事件发生的概率是p；若第一次事件不发生，而第二次河边走事件发生的概率是pp)1(；同样的，若前两次河边走时事件都不发生，而在第三次事件发生的概率是pp21，以此类推，第1n次河边走事件都不发生，而第n次河边走时事件发生的概率是ppn11.如此，可以的得到等比数列p,pp)1(,pp21,…,ppn11,…,且111)1(nnpp，说明在河边走的次数足够多，“湿鞋”这一小概率事件发生的概率为1，即“湿鞋”这一小概率事件肯定发生.3.2概率与比赛福利彩票的出现在某种程度上拉动了GDP的产值，也调动了彩民的积极性.随之产生的新兴博彩模式，如单色球，双色球，体育彩票也不同程度的收到了人们的关注.但就概率的角度而言，体育彩票算是在其他几种彩票形式中略微有所依据的.例如在现在的体育赛事中，为了避免偶然性，许多赛事采用多局累计决胜制，如采用比较多的三局两胜制，五局三胜制等.例6在NBA季后赛中，热火队和湖人队的比赛根据实际排名和常规赛的战绩统计，每赛一局，湖人队胜的概率是0.4，热火队胜的概率是0.6，若比赛既可以采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，选择哪种赛制对湖人队有利？解若采用三局两胜制：设1A表示湖人队胜前两局，2A表示前两局中二队各胜一局，第三局湖人队获胜，A表示湖人队胜，则21AAA,而16.04.0)(21AP,2)6.04.0()(22AP=0.192由于1A与2A互斥，由加法公式得)()()()(2121APAPAAPAP=0.16+0.192=0.352.若采用五局三胜制：设B表示湖人队胜，1B表示前三局湖人队胜，2B表示前三局中湖人队胜两局，热火队胜一局，第四局湖人队胜，3B表示前四句两5队各胜两局，第五局湖人队胜，则321BBBB,而)(1BP=34.0=0.064)(2BP=4.06.04.0223C=0.11524.06.04.0)(22243CBP0.13824所以)()()()()(321321BPBPBPBBBPBP=0.064+0.1152+0.13824=0.31744.由于)()(APBP,故采用三局两胜制对湖人队有利，但从公平性而言，因湖人队胜的概率为0.4，热火队胜的概率为0.6，所以五局三胜制更公平更合理.在实际比赛中，NBA季后赛采用的是七局四胜制，这样就更为公平和合理.3.3“三门问题”三门问题（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后