概率论与数理统计习题三参考答案及过程许承德哈尔滨工业大学

·19·习题三1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0p1)，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解(Xk)表示事件：前k1次出现正面，第k次出现反面，或前k1次出现反面，第k次出现正面，所以PX(k)pk1(1p)(1p)k1p,k2,3,2．袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解从ab个球中任取r个球共有Cabr种取法，r个球中有k个黑球的取法有CCbkark，所以X的分布列为PX(k)CCCbkabrark，kmax(0,ra),max(0,ra)1,,min(,)br，此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即k0；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品1的概率pi(i1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布i1列。.·20·解设Ai‘第i个零件是合格品’i1,2,3。则1111PX(0)PAAA(123)，23424PX(1)PAAA(123AAA123AAA123)PAAA(123)PAAA(123)PAAA(123)1111211136，23423423424PX(2)PAAA(123AAA123AAA123)PAAA(123)PAAA(123)PAAA(123)12111312311，234234234241236PX(3)PAAA(123).23424即X的分布列为.242424244．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解PX(0)P(第一个路口即为红灯),111X0123P16116·21·PX(1)P(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)，224依此类推，得X的分布列为.5．将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故X~Bn(,)，X的分布列为nPX(k)Cnk12k0,1,6．一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则X~P(4)（1）PX(8)48!8e4k84ke44kk!e40.2977k!kq（2）PX(10)4kk!e40.00284.k117．某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意X0123P,n·22·0.99977PXN()1PXN()1KN1PXK()1KN15kk!e5即KN15kK!e50.00023查泊松分布表知N115，故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。8．已知离散型随机变量X的分布列为：PX(1)0.2,PX(2)0.3，PX(3)0.5，试写出X的分布函数。解X的分布列为X123P0.20.30.5所以X的分布函数为0,x1,0.2,1x2,Fx()0.5,2x3,1,x3.9．设随机变量X的概率密度为csinx,0x,fx()0,其他.求：（1）常数C；（2）使PX(a)PX(a)成立的a.·23·解（1）1fxdx()c0sinxdxccosx02c，c；1111（2）PX(a)a2sinxdx2cosxa22cosa，PX(a)0a12sinxdx12cosx0a1212cosa,可见cosa0，a。210．设随机变量X的分布函数为Fx()ABarctanx，x，求：（1）系数A与B；（2）P(1X1)；（3）X的概率密度。解（1）由分布函数的性质0F()AB21F()AB211于是A，B，所以X的分布函数为211Fx()arctanxx，2·24·（2）P(1X1)F(1)F(1)11(11)1；24242（3）X的概率密度为1fx()Fx()2)，x.(1x11．已知随机变量X的概率密度为1||xx.fx()e，2求X的分布函数.解x1xeduu,x0,Fx()fudu()2012edxx0x12eduu,x0,1ex,x0,211ex,x0.212．设随机变量X的概率密度为·25·x,0x1,fx()2x,1x2,0,其他.求X的分布函数.解fx()的图形为X的分布函数为xFx()fudu()0,x0,xx2.2x1,21,x0,0x1,1x2,x2.13．设电子管寿命X的概率密度为01010,1,,21,)(21,xuduxxuduxdx220,,2xx012x(1，1)f(x)·26·100x2,x100,fx()0,x100.若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。解Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，Y~B(3,p)，其中1501001pPX(150)100x2dx3，23（1）所求概率为PY(2)PY(2)PY(3)C32132313；k3k（2）Y的分布列为PY(k)C3k1323，k0,1,2,3,即.Y0123P·27·（3）Y的分布函数为14．设随机变量X的概率密度为2x,0x1,fx()0,其他.现对X进行n次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的观测次数，试求随机变量Vn的概率分布。解Vn~Bnp(,，其中0.1pPX(0.1)02xdx0.01，所以Vn的概率分布列为PV(nk)Cnk(0.01)(0.99)knk,k0,1,15．设随机变量X~U[1,6]，求方程x2Xx10有实根的概率.解设A‘方程有实根’，则A发生X240即|X|2，因X~U[1,6]，所以A发生X2,所以0,8,2720Fx(),272627,1,x0,0x11x2,2x3,x3.,n.·28·PA()PX(2)0.8.16．设随机变量X~U[2,5]，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则Y~B(3,p)，其中pPX(3)，所求概率为23PY(2)PY(2)PY(3)C322313322720.17．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分），服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及PY(1)。解由题意Y~B(5,p)，其中15xee2，pPX(10)105edx10于是Y的分布为PY(k)Ce5k(2)(1ke2)5kk0,1,2,3,4,5,PY(1)1PY(0)1(1e2)50.5167.18．一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt()服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。解（1）设T的分布函数为FtT()，则5x·29·FtT()PT(t)1PT(t)事件(Tt)表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故Nt()0，于是FtT()1PT(t)1PNt(()0)1(t)0t1et,t0，e0!可见，T的分布函数为1et,t0,FtT()0,t0.即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为PT(16|T8)PT{PT(16,T8)8}PT(16)ee168e8.P(8)19．设随机变量X~N(108,3)2。求（1）P(101.1X117.6)；（2）常数a，使PX(a)0.90；（3）常数a，使PX(|a|a)0.01。解（1）P(101.1X117.6)(117.6108)(101.1108)33(32)(23)(32)(23)10.99930.989310.9886；（2）0.90PX(a)(a108)，查表知3·30·a1081.28，所以a111.84；3（3）0.01PX(|a|a)1PX(|a|a)1P(0X2)a1(),所以()0.99，查正态分布表知2.33，故a57.495。20．设随机变量X~N(2,2)，且P(2X4)0.3，求PX(0)。解0.3P(2X4)(42)(0)，2所以()0.，PX(0)(02)(2)1(2)0.2。21．某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解0.023PX(96)196(72)12·31·所求概率为P(60X84)(8472)(6072)(12)(12)122()120.841310.6826.22．假设测量的随机误差X~N(0,10)2，试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值。解设Y为误差的绝对值大于19.6的测量次数，则Y~B(100,p)，其中pPX(||19.6)1P(19.6X19.6)1(1.96)(1.96)22(1.96)220.9750.05，所求概率为100PY(3)C100k(0.05)(0.95)k100k,k3利用泊松定理1005kk!e50.875.k324()0.977,242,121.·32·23．在电源电压不超过200V，在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X服从正态分布N(220,25)2，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。解设A‘电子元件损坏’，Bi‘电源电压在第i档’，i1,2,3，则（1）PA()PBPAB(1)(|1)PBPAB(2)(|2)PBPAB(3)(|3)PX(200)0.1P(200X240)0.001PX(240)0.2(200220)0.1[(240220)(200220)]0.001252525[1()]0.220202020()0.1[()()]0.001[(1()]0.225252525(10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.20.064PBPAB(2)(|2)0.0057560.0898.（2）PB(2|A)0.06410.06411124．假设随机变量X的绝对值不大于1；PX(1),PX(1)，84在事件{1X1}出现的条件下，X在(1,1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X的分布函数；（2）X取负值的概率P.解1设X的分布函数为Fx()，则当x1时，Fx()0，且F(1)，·33·当x1时，Fx()1，115P(1X1)1，848当1x1时，由题意P{1Xx|1X1}kx(1)，而1P{1X1|1X1}2k，所以k。于是P{1Xx|1X1}x1,2此时Fx()P{1Xx}F(1)P{1Xx,1X1}P{1X1}P(1Xx|1X1}5x115x7，82816故X的分布函数为0,x1,5x7Fx(),1x1,16·34·1,x1.（2）PX(0)F(0)PX(0).解2设X的分布函数为Fx()，则当x1时，Fx()0且F(1)当x1时，Fx()1，当1x1时，设xx,x(1,1)，且x0，由题意Px(Xxx|1X1)kx，即Px(Xxx,1X1)kx,P(1X1)由此得Px(Xxx)kx，两边同除以x得Fx(x)Fx()5k,x8令x0取极限得Fx()k,两边积分得Fx()kxC，1由F(1)及limFx()得8x101885kC·35·35kC4871解之得C,k故162Fx()5x75x7，1x1161616综上所述，X的分布函数为0,x1,5x7Fx(),1x1,161,x1.（2）