概率论期末复习试题二

概率论与数理统计试题11级计算机大队二区队一、选择题：1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB()。(A)是不可能事件(B)是可能事件(C)发生的概率为1(D)是必然事件答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）。A、16B、112C、160D、172答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是，这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记“等待时间短于分钟”为事件A。则有S=（0，60），A=（50，60）所以P(A)=AS=1060=16。3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问P｛XY}=（）。A、0B、12C、14D、1答案：B。利用对称性，因为X,Y独立同分布，所以有P｛XY｝=P｛YX｝,而P｛XY｝+P｛YX｝=1，所以P｛XY｝=124、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)，分布律如下：则F（2，3）=（）。A、0B、14C、716D、916答案：D。F（2，3）=P｛X2,Y3｝=P｛X=1,Y=1｝+P｛X=1,Y=2｝+P｛X=1,Y=3｝+P｛X=2,Y=1｝+P｛X=2.Y=2｝+P｛X=2,Y=3｝=14+0+0+116+14+0XY123411400116211614014301161160=9165、下列命题中错误的是()。(A)若Xp()，则XDXE；(B)若X服从参数为的指数分布，则1XDXE；(C)若Xb(,1)，则1,XDXE；(D)若X服从区间[ba,]上的均匀分布，则3222babaXE.答案：B。2,XDXE6、设YX,服从二维正态分布，则下列条件中不是YX,相互独立的充分必要条件是()。(A)YX,不相关(B)YEXEXYE(C)0,covYX(D)0YEXYE答案：D。当YX,服从二维正态分布时，不相关性独立性。若YX,服从一般的分布，则YX,相互独立YX,不相关，反之未必。7、已知总体X服从[0，]上的均匀分布（未知），X1，X2，X3，···，Xn的样本,则（）。11212111A-B-EXn2n1CX+XD-DXnnniiiiniiXXX、是一个统计量、（）是一个统计量、是一个统计量、（）是一个统计量答案：C。统计量的定义为：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量。而（A）、（B）、（D）中均含未知参数。22123n222X~NXXXX,XXSX-AX~NBU=~NnnX-CT=~tn-1DXSSnXSD8、设总体（，），，，，，是取自的一个样本，与分别为该样本的样本均值与样本差，则下面（）是错的。、（，）、（0,1）、（）、与不独立解：对于但正态总体来说，与是相互独立的，故（）错9、设函数0x0Fxx/3,0x21,x2，（），则F（x）是（）。（A）是某随机变量的分布函数（B）是离散型随机变量的分布函数（C）是连续型随机变量的分布函数（D）不是某随机变量的分布函数答案：A。10、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）。A．48B.24C.28D.14答案：D。由题意得：如果要求至少有1名女生的选派方案种数为：C12C34+C22C24=14种。二、填空题：1.已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.3,则P(AB)=（）。答案：0.18。由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为（）。答案：0.784。是因为三人都不中的概率为0.63=0.216,则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。3、若（X,Y）的分布律为YX12311619118213ab则a,b应满足的条件是（）。答案：由分布律的性质可知，16+19+118+13+a+b=1,则a+b=13。4、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其它数值填入表中的空白处。解：由边缘概率分布的定义知：P11=P1—P21=16—18=124,又由X与Y相互独立，有124=P11=P1P1=P1×16，故P1=14，从而P13=14—124—18，又由P12=P1P2，即18=14P2,从而P2=12，类似的有P3=13，P13=14，P2=34，所以：XYY(1)Y(2)Y(3)Y(4)X11241811214X218381434XYY1Y2Y3PiX118X218Pj161Pj16121315、1X，2X，……，nX是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(，2)，(0)，则XniiXn11服从的分布是（），且XE（），XD（）。答案：正态分布，，n2。6、设总体X服从参数为2的指数分布，1X，2X，……，nX为来自总体X的一个样本，则当n时，nYniiXn121依概率收敛于（）。答案：12。7、两个骰子的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有两个实数根的概率为（）。解：1936。共有6*6=36种结果，方程有解，则△=b2—4c≥0，即b2≥4c，满足条件的数记为（b2，4c），共有（4,4），（9,4），（9,8），（16,4），（16，8），（16,12），（16,16），（25,4），（25,8），（25,12），（25,16），（25,20），（25,24），（36,4），（36,8），（36,12），（36,16），（36,20），（36,24），19个结果。8、.若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为（）。解：1/2。书架上共有（5+3+2）本书，其中外文书有（3+2）本，则由书架上抽出一本外文书的概率为510=12。123nn22ini=112n3XBXXXX10011X=XS=()nnEX=ES=333397291X~BEX==DX==100100101001001000EX=EXniiXX9、设总体服从二项分布（10，），，，，，为来自该总体的简单随机样本，与分别表示样本均值和样本二阶中心矩，则（）（），（）（）。解：由（10，），得：（）10，（）10，所以（）（2n3n-1291n-=ES=DX=10n1000n（1）），（）（）三、应用题：1、一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少？（古典概型）解：设事件A为“任取3个球恰为一红、一白、一黑”由古典概型计算得所求概率为P（A）=31053210.254C2、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（事件的独立性与条件概率）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有：()()(|)()(|)211150.417323412PBPAPBAPAPBA3、设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从)25,50(N分布，乙种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从)16,54(N分布。设甲种蛋占总只数的%70，（1）今从该批鸡蛋中任选一只，试求其重量超过55克的概率；（2）若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概率是多少？（)9938.0)5.2(,8413.0)1(解：设B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋”，B=“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋”A=“选出的鸡蛋重量超过55克”，X=“甲种鸡蛋单只的重量”，Y=“乙种鸡蛋单只的重量”，则,3.0)(,7.0)(BPBP1587.08413.01)1(1)55055(1}55{1}55{)(XPXPBAP0062.09938.01)5.2(1)44555(1}55{1}55{)(YPYPBAP（1）)()()()()(BAPBPBAPBPAP11295.00062.03.01587.07.0（2）9835.011295.011109.0)()()()(APBPBAPABP4、设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为其它01015,2yxyxyxf（1）.求边缘概率密度函数);(,)(yfxfYX.；（2）求)(xyfXY；（3）求}1{YXP。解：（1）dyyxfxfX),()(，)1(21515)(,102212xxydyxxfxxX时其它010)1(215)(22xxxxfXdxyxfyfY),()(，402515)(,10yydxxyfyyY时其它0105)(4yyyfY(2)0)(10xfxX，时其它01012)(),()(2yxxyxfyxfxyfXXY(4)64515),(}1{122101xxyxydyxdxdxdyyxfYXP5、袋中有2个白球，3个黑球，不放回地连续去两次球，每次取一个。若设随机变量X与Y分别为第一、二次取得白球的个数。试求：（1）（X,Y）的联合分布律（2）关于X及关于Y的边缘分布律（3）求X=1时，Y的条件概率密度（4）判断X与Y是否相互独立解：（1）（2）由题目知（X,Y）的所有可能取值为（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律（见下表）XY01P(i﹒)062062035162022025P(﹒j)3525（3）P｛Y=0｜X=1｝=P｛X=1｜Y=0｝/P｛X=1｝=62035=34P｛Y=1｜X=1｝=PX1Y1 P{X=1}｛｜｝=22025=14（4）由于P｛X=0｜Y=0｝=620≠P｛X=0｝P｛Y=0｝=925，故X与Y不相互独立。6、已知（X,Y）的分布律如下表所示，XY01201418010130216018试求：（1）在Y=1的条件下，X的条件分布律（2）在X=2的条件下，Y的条件分布律解：（1）（2）由联合分布律得关于X与Y的两个边缘分布律为X012P(k)3813724Y012P(k)512112418故在Y=1条件下，X的条件分布律为X｜（Y=1）012P(k)3118110（2）由（1）的分析知，在X=2的条件下，Y的条件分布律为Y｜（X=1）012P(k)470377、设总体X服从泊松分布。一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8。计算样本均值，样本方差和经验分布函数。解：由题意知，样本的频率分布为X1234568m/n1/101/102/103/101/101/101/10则X=4，S2=4.经验分布函数为0x11,1x2102,2x3104,3410Fx7,45108,56109,68101,8XXXXX，（）8、某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定，一条生产线上熟练工人数不得少于3人，已知这10名工人中熟练工8名，学徒工2名。（1）求工人的配置合理的概率；（2）为了督促其安全生产，工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次抽检，求两次检验得到结果不一致的概率。解：（1）从从10名工人中选配4人共有C410=210种可能，而一条生产线上熟练工人数不得少于3人共有C38C12+C48C02=56种，所以工人的配置合理的概率为56210=