概率论答案

习题二答案1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率（x取任意的值）求得X的分布函数;仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数,可通过积分,求得分布函数,可通过对求导，即（对一切求得密度函数2.同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X13}.解：由题意X的正概率点为2，3，…12,k=2,3,…123.某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X的概率分布,并计算P{1≤X2}解：,4.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X的概率分布解：X的可能取值为0,1,2,3(i=1,2,3)表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”；相互独立，且=，i=1,2,3对于m=0,1,2,3，有5．设随机变量X的概率密度为：若k使得,求k的取值范围。解：当时，当时，当时，故要使得，k的取值范围是6．设某射手每次射击命中目标的概率为0.5，现连续射击10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。解：,k=0,1,2…,10设，有7．设X服从泊松分布，且已知,求解：由得到=28．某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率α。解：k=1,2,39.令X表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,求F(x).解：当时，=0当时，=1当时，10．从1个白球n-1个黑球中任取k个,令X表示取出的白球个数.(1)求X的分布律;(2)证解：(1)X的可能取值为0,1，且故分布律：(2)由分布律性质，即11．已知X的概率密度为,计算P解：12．已知X的概率密度为f(x)=C,确定常数C.故，C=13.设X~N(108,9),(1)求P{101.1x117.6};(2)求常数a,使P{Xa}=0.90.解：(1)(2)故，即，a=111.8414．设X为一离散型随机变量,其分布律如下表,求:(1)q的值;(2)X的分布函数.X-101P1-2q解：(1)解得：分布律：X-101P(2)由知，15.设随机值变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行3次独立观测,试求至少有2次观测值大于3的概率.解：因且故，以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数（即在3次独立实验中事件A出现的次数）显然，Y服从参数为n=3，p=的二次分布16.设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次数N(t)服从参数的泊松分布，求:（1）相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率Q.881681688,16816)2(10)(11)(00)(00)(010t00)(,0....)3,2,1,0(!)(teeeTPTPTPTTPTTPQetNPtTPtTPtFttNtTttTPtFtTtNttTTttTPtkektktNPkktNttk布。故服从参数为的指数分时，有等价，故当与，则事件设时，当是非负随机变量，可见）由于（故它等价于事件的时间内无故障发生，长为是互逆事件，且表示在与事件时，事件当时当次故障。的时间间隔内发生表示设备在任何长为解：事件17.设X的分布律为：求Y=的分布律。X123456P41611218124561求Y=COSX2的分布律。解：X与Y的对应关系如下表:X123456Y0-1010-1P41611218124561可见Y的取值只有-1,0,1三种可能。:2814212413245121415312031616162121的分布律为故XCOSYXPXCOSPYPXPXPXPxCOSPYPXPXPXCOSPYPY-101P3124138118.设X～N（0,1），求Y=2X的密度函数。000,21)(212121221)(22)(1)(2)(00)(y02212212,,2yyeyyPYeyyeyyyyFyyXyPyXPyYPyFyyYPyFYYyYyyYYY的密度函数为：故，则有若是不可能事件，故，则解：若19.设连续型随机变量x的概率分布为：.14,210,0,22的概率密度求其他XYxxf其他，的概率密度为：故其他时当时当解：010111)(01,0121212121210,0142)21(141)21()()21()21()21(212121212141)(,1-0)(00)(,041,14114)(,,2222yyyYyyyyyyfyyFyyFyFyFyxyPyxyPyxPyxPyFyyPxPyFyyyxPyxPyYPyFYxYxxxYYYY(B)1.随机变量X与Y均服从正态分布。X～N(μ,24),Y～N(μ,25),证1P=P4X,2P=P5Y,则()(A)对任何实数μ，都有21PP(B)对任何实数μ，都有21PP(C)只对μ的个别值，才有1P=2P(D)对任何实数μ，都有1P2P）成立。故（即解：APPXXYPYPYPpXPXPp212111111115115511442.设随机变量X～N(μ,2)，则随着的增大，概率PX()(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定解：X～N(μ,2)X～N(0,1)）成立。故（CXPXP1121113.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取()(A)a=35,b=-25(B)a=23,b=23(C)a=-12,b=32(D)a=12,b=-32成立故即：函数，必满足条件：是某一随机变量的分布为使都是分布函数，解：)(111,1,212121AbaFxbFxaFxFFFxFxF(C)计算题1.设测量误差X～N(0,210),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字).λ1234567e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001解：设100次独立重复测量中有Y次测量误差的绝对值大于19.6，则Y～B（100，p）,p=P6.19X10X～N(0,1)05.0)975.01(296.11296.110196.1106.19XPXPXPp则有的近似值，因若用泊松分布求505.0100881737019.0)95.005.029910095.0595.0(1)95.005.095.005.095.005.0(11398299100982210099111001000010020CCCiYPYPi87.0007.05.1815.181!25!15!0515525150eeee2.一实习生用同一台机器接连独立地加工3个同种零件,第i个零是不合格品的概率iPi11,(i=1,2,3,),此X表示3个零件中合格品的个数,求P{X=2}.2411433221433121413221)()()(22)3,2,1(1111)(,,,3,2,1321321321321321321321AAAPAAAPAAAPXPAAAAAAAAAXiiiiAPAAAiiAii”“且相互独立由题意）个零件是合格品”（“加工的第解：令3.设随机变量X的绝对值不大于1,P{X=-1}=81,P{X=1}=41.在事件{-1X1}出现的条件下,X在(-1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比,求:(1)X的分布函数F(x)=P{X≤x};(2)X取负值的概率167)0()00(0)1,1()(21111,12151610)(81218511()11,1,1,1,1,1,11.1)(1,0)(1)1(212111)1,1(1)1,1(,),(1),()1,1(),(8541811111,11,01:FFXPxFxxxxxFxXPXxXPXPXxXPXxXPXxXPXxXPXxXPXxXPxXPxxFxxFxkkkxXPdckcdkXdcXPdcXPXPXPXP内是连续的，在）（故，由全概率公式故可设定时，当时，当得）特别地，取（为比例系数，其中有对任意的解