虚位移原理

第十五章虚位移原理虚位移的英文名词是virtualdisplacement.意思是‘可能的位移’.不管是‘虚’也好,还是‘可能’也好,它的力学含义是:仅为约束条件所允许的位移.引言质点被约束在某一平面上,其上有力的作用.显然,在此平面上有无限多为约束所允许的位移.怎样判断质点是平衡的?如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零,则质点必有动能的增加,因而不是平衡的.如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零,则我们说质点是平衡的－这正是我们判别平衡的另一个准则－虚位移原理.§15–1约束.虚位移.虚功1.约束及分类约束:限制质点系中各质点位置和运动的条件。约束的分类:(1)几何约束–约束方程表示为空间坐标的函数.运动约束–约束方程中含有空间坐标对时间的导数xyABCLrB、C点的约束方程:0yLy)xx(ryxC22B2BC22B2BA点的约束方程:rxryAAxyoAr(2)定常约束–约束方程不显含时间t.非定常约束–约束方程显含时间t.A点的约束方程:222L)by()tsinax(tsinaxexy0LAko'b(3)双面（双侧）约束–约束条件用方程给出.单面（单侧）约束–约束条件用不等式给出.0yxAmgLA点的约束方程:Lyx2A2AxyoAr(4)完整约束–几何约束和可积分的运动约束.非完整约束–不可积分的运动约束.冰刀在冰面上的运动.tgxytgxy圆轮的直线纯滚动.ryCrxrxAAAφv可积分的运动约束（双面、运动、非定常）约束方程的一般形式：0);,,,,,;,,,,,(111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnn上式可简化为：0);,,;,,(tzyxzyxfiiiiii上式中若将等号改为不等号，则成为单面约束；若去掉时间t，则成为定常约束；若去掉坐标导数项，则成为几何约束。故双面定常几何约束方程的一般形式可表为：0),,(iiizyxf0);,,;,,(tzyxzyxf或0),,(zyxf或2.虚位移定义:在给定瞬时,质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想的无限小的位移.▲:(1)虚位移是‘等时变分’的概念.不论约束是否定常,必须把时间‘冻结’,在此前提下才有虚位移的概念.(2)虚位移仅为约束条件所允许即可,而实位移除此之外还须由动力学方程和初始条件等而定.同一点的实位移只能有一个,而虚位移可以有无穷多.(3)稳定约束(定常约束)下,实位移是众多虚位移中的一个.而在非定常约束下则不然.t+dt实位移虚位移mmvrdr虚位移t虚位移（可能位移）与实位移是不同的两个概念，二者的区别在于：1）虚位移只能是无限小的，而实位移既可以是无限小的，也可以是有限量；2）虚位移包括约束所能容许的一切可能有的位移，同一质点的虚位移一般不止一个，而实位移一般只能有一个，因为质点的坐标（x,y,z)通常都是时间t的单值连续函数；3）虚位移是假想的，只与约束情况有关，而与作用力及时间无关，与质点的实际运动情况也无关，即使质点系在已知力系作用下处于静止，仍然可以给予各个质点以约束所容许的虚位移。在定常（稳定）约束下，实位移是虚位移中的一个，或者说中包含了。在非定常（非稳定）约束情况下，实位移与虚位移并不一致。例如若设质点m被约束在运动着的曲面上，则在某时刻t，与分别如下图所示。rrdrrd实位移rdtt’rr虚位移虚位移mf(x,y,z,t)=0f(x’,y’,z’,t’)=0由于虚位移与时间的变化无关（某时刻的虚位移并不需要经历时间历程），或者说时间没有改变，所以时间t的变分（即时间t的增量）。因此称为等时变分。0t对于有n个质点的质点系，第i个质点的虚位移可表为：kzjyixriiiiixiziy其中、、表示虚位移在直角坐标轴上的投影。BrCr60º3.虚功.实功.rFwrdFw△:理想约束:定义:若约束反力的功或约束反力的虚功之和为零,这种约束称为理想约束.（）△△:虚位移的求法:1.几何法-用几何学或运动学的条件直接求得.例一.试用OA杆的转角的变分δφ表示A、B、C、D各点的虚位移,已知OA=r.OADO1Cr30°BrDr30º解:杆作瞬时平动。，可见杆用速度投影定理有对ABrrrABrrABA,由瞬时平动的概念:rrrAC对CD杆由速度投影定理:r31r31r60cosr30cosrCD0C0D00iNiirFw建立坐标系如图:coslysinlysinlxlcosxAAAAcoslcosly)sin(sinlysinlsinlx)cos(coslxBBBByx2.解析法:借助于坐标系来表示虚位移.例二.图示双摆杆,试用变量α、β的变分表示A、B两点的虚位移.BAOPβαll3.混合法:lrφABCxCr例三.曲柄滑块机构如图.试用φ角的变分表示B、C点的虚位移.C点:rrCB点:)sinrlcossinrsinr(xsinrlcosrx2222B222B§15–2虚位移原理虚位移原理:具有（完整,定常,）理想约束的质点系继续保持其原有静止平衡状态的充分必要条件是:作用于质点系上的主动力在任何虚位移中的元功之和为零.即:质点系的静止平衡0rFn1iii同乘ir有:0rFrFiNiiI整个质点系便有:0rFrFn1iiNn1iiii对于理想约束:0rFn1iiNi0rFn1iii证明:(必要性)∵质点系整体平衡,∴对质点系中的任意一个质点mi,主动力和约束反力的和为零.0FFiNi即:(充分性从略)2lFNF'Fδφδs例一.图示螺旋压榨机.其手柄上作用一水平面内的力偶,其矩为2Fl.设螺杆的螺距为h,求平衡时作用于被压榨物体上的力.解:取系统分析,设手柄顺力偶的方向转了δφ角(力学语言称:给螺杆以虚位移δφ),则压板的虚位移为δs.由虚位移原理:0sFFl20rFNiihFl4F02hFFl22hs2hsNN即◆:两种常用的形式:(2)直角坐标式0)zFyFxF(iiziiyiix(解析法用)0rFii(1)矢量式(几何法用)例二.(参见书上例17–4)图示结构,已知力P作用于G点.各杆都以光滑铰链连接.AC=CE=BC=CD=DG=GE=l.在G、C间有一刚度为k的弹簧,在图示夹角为θ时弹簧的伸长量为δ0.求支座B处的水平约束反力.·xFGyEDACBθθkFBF1F1'解:解除B处相应的约束,代之以相应的水平力和活动铰支座,去掉弹簧,代之以相应的弹簧力.在图示坐标下sinl2xcosl2xcoslysinlycosl3ysinl3yBBCCGG0yFyFyFxF0)yFxF(GG1C'1BBiiyiix式中F1=F1'=kδ0ctgkFctg23F0cosFl3coslk3coslksinlF20B00B例三.求图示组合梁的支座B处的约束反力.ABCDEPMq8l8l4l4l4l已知:q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mABCDEPM8l8l4l8l8l8l8lQQN8004lqQ解:为便于计算,将均布载荷等效简化成集中力.q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mN8004lqQABCDEPM8l8l4l8l8l8l8lQQ去掉B支座代之以FB,原结构变成一个自由度的系统.设CE杆绕E点有一个虚角位移,则各处有关的虚位移如图.由0rFii8l8l4l8l8l8l8lABCDPMQQEFBN2400F0M8l3Q8l3Q4lF8lPBB8l8l4l8l8l8l8lABCDEPMQQAF若求A处支座反力则系统的虚位移分析如图示:(注意:整体分析可知A处的水平力为零.故A处只有竖直反力)q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mN8004lqQ设A处给一向上的虚位移rA.,0iirFArCrCArr显然有:043222lAAAAAArMrQrQrPrF02432121lMQQPFANFA850若求E处支座反力,则系统的虚位移分析如图示.q=400N/m,P=200N.M=200m.N.l=8mN8004lqQ0iirF设E处有一向上的虚位移rE,042ElEEErQrMrF0412QlMFENFE2508l8l4l8l8l8l8lABCDEPMQQEFEr例四.试用虚位移原理求图示结构中1号杆的内力.已知力P及α=30°.PPAKBEDααααC1解:取出1号杆,D、E铰处受的力为对其的反作用力.给D点以一虚位移δrD.则相关的虚位移如图示,特别是B、C点的虚位移为零.对DK、EK杆分别用速度投影定理:EDKEKDrrrrrr000060cos30cos60cos30cos由虚位移原理:2PFF060cosrF60cosr)FP('110E'10D1AKBEααPPDCααF1F1'DrErKr第三章分析力学基础（下册）§3–1自由度、广义坐标、广义力1.自由度:确定质点系空间位置的独立参变量的个数.2.广义坐标:确定质点系空间位置的独立参变量.★:在完整约束下,自由度的个数与广义坐标的个数相等.完整约束下,若系统有n个质点,s个约束方程,则自由度N=3n–skN1kkiiiN321iiiN321qqrr)(,m.)q......q,q,q(rr,m,q...q,q,q的关系式为即广义坐标的虚位移广义坐标的变分它的虚位移与对于任意一个质点确定其空间的位置可由则每一个质点个广义坐标选用直角坐标系下的投影表达为:N1kkkiiN3,2,1iiN1kkkiiN3,2,1iiN1kkkiiN3,2,1iiqqzz)q......qqq(zzqqyy)q......qqq(yyqqxx)q......qqq(xx3.广义力.广义力的定义须用数学式表达.这里要说的是:广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念.它与广义坐标直接相关,不同的的广义坐标对应着不同的广义力.称Qk为系统对应于广义坐标qk的广义力.(k=1、2、3……N)对于完整的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变:N1kn1ikkin1iN1kkkiin1iiin1iiqqrFqqrFrFw上式中令kin1iikqrFQN1kkN1kkkn1iiiwqQrF广义力的求法:(1)在直角坐标系下)N.......3,2,1k()qzFqyFqxF(Qkiizkiiyn1ikiixk(2)虚功法:kkkkkkqwQqQw(k=1、2、3……N)xyabAO12AFBFFB例一(参见P32例3–1)双摆杆系统如图示.OA=a,AB=b,受已知力如图示.选广义坐标φ1和φ2,试求广义力.解:11a1a111B1111A12sinaFcosFasinaFw:0则