概率论与数理统计—条件分布及变量的独立性.

一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布三、小结第三节条件分布问题一、离散型随机变量的条件分布.,,,,他们都有自己的分布机变量都是随和则记此人的体重和身高和用分别从其中随机挑选一个人考虑一大群人YXYX1.7m,.YX现在如果限制为求在这个限制下求的分布.,}{},{}{,0}{,,),(的条件分布律条件下随机变量为在则称若的对于固定是二维离散型随机变量　设XyYppyYPyYxXPyYxXPyYPjYXjjijjjijij.,}{},{}{,0}{,的条件分布律条件下随机变量为在则称若对于固定的YxXppxXPyYxXPxXyYPxXPiiiijijiiji.,2,1,ji其中定义XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP:),(.,.2,3.,具有分布律资料知据积累的数目表示焊点焊接得不良的以目数表示螺栓紧固得不良的以处焊点焊接其二是只螺栓其一是紧固由机器人完成的一辆汽车有两道工序是在一汽车工厂中YXYX例1.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件下求在的条件分布律的条件下求在XYYX解}1{}0,1{}10{XPYXPXYP,045.0030.0}1{}1,1{}11{XPYXPXYP,045.0010.0}1{}2,1{}12{XPYXPXYP,045.0005.0由上述分布律的表格可得的条件分布律为的条件下即在YX,1kY}1{XkYP210919296的条件分布律为的条件下同理可得在XY,0kX}0{YkXP32109019029039084定义二、连续型随机变量的条件分布.)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),,(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX记为的条件概率密度的条件下为在则称对于固定的若的边缘概率密度为关于的概率密度为设二维随机变量.d)(),(}{)(),(}{,,d)(),(d)(xyfyxfyYxXPyxFyxFyYxXPXyYxyfyxfxyxfxYYXYXxxYYX即或记为的条件分布函数条件下的为在称的条件概率密度为的条件下同理定义在YxX.d)(),(}{)(yxfyxfxXyYPxyFyXXY.d])(),([d)()(xYxYXYXxyfyxfxyxfyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxfyxfyxyfxyF说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布).(,1),(.,0,),(,1),(),(.,22yxfyxYXGyxAyxfYXAGYX件概率密度求条上服从均匀分布在圆域设其它具有概率密度维随机变量若二其面积为是平面上的有界区域设解的概率密度为由题意知随机变量),(YX,,0,1,π1),(22其它yxyxf例3又知边缘概率密度为xyxfyfYd),()(.,0,11,1π2dπ121122其他yyxyy有时于是当,11y.,0,11,1211)π2(π1)(2222其他yxyyyyxfYX).(.)1,(,)10(,)1,0(yfYxYxxXXY的概率密度求值上随机地取在区间数时当观察到上随机地取值在区间设数解具有概率密度由题意知X.,0,10,1)(其它xxfX),10(xx对于任意给定的值,的条件下在xX的条件概率密度为Y.,0,10,11)(其它yxxxyfXY例4的联合概率密度为和因此YX)()(),(xfxyfyxfXXY.,0,10,11其它yxx的边缘概率密度故得YxyxfyfYd),()(.,0,10),1ln(d110其它yyyxx三、小结,}{},{}{,),2,1,(,),(.1jijjjijijijppyYPyYxXPyYxXPXyYjipYX的条件分布律为条件下随机变量在给定为其联合分布律是二维离散型随机变量设.,2,1,ji其中,}{},{}{iijijiijippxXPyYxXPxXyYPYxX的条件分布律为条件下随机变量在给定.d])(),([d)()(xYxYXYXxyfyxfxyxfyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxfyxfyxyfxyF则有是二维连续型随机变量设,),(.2YX一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结第四节相互独立的随机变量.),()(),(},{}{},{,.),()(),(),(的相互独立是和则称随机变量即有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量分别是二维随机变及　　设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX一、随机变量的相互独立性1.定义},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即).()(),(yfxfyxfYX则相互独立和,)3(YX相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立和YgXf),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例1的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有.),(,],[),,(,2的联合概率密度求上服从均匀分布在服从并且相互独立和设随机变量YXbbYσaNXYX;,eπ21)(222)(xσxfσaxX又)()(),(yfxfyxfYX所以解由于X与Y相互独立,例2.,0,,21)(其他bybbyfY,eπ2121),(222)(σaxσbyxf得.0),(,yxfby时当.,bybx其中例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解,达办公室的时间书到分别是负责人和他的秘和设YX的概率密度分别为和由假设YX,,0,128,41)(其它xxfX,,0,97,21)(其它xyfY,,相互独立由于YX的概率密度为得),(YX)()(),(yfxfyxfYX.,0,97,128,81其它yx}121{YXPGyxyxfdd),().(81的面积GOxy81279ABBCCG的面积的面积的面积而CBAABCG22121121121321.61于是}121{YXP)(81的面积G.481.4815分钟的概率为不超过到达办公室的时间相差因此负责人和他的秘书Oxy81279ABBCCG.,,,21为任意实数其中nxxx二、二维随机变量的推广},,,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF1.分布函数的分布函数维随机变量),,,(21nXXXn有实数使对于任意若存在非负函数nnxxxxxxf,,,),,,,(2121.),,,(),,,(2121度函数的概率密为则称nnXXXxxxfnnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),,,(),,,(2121212.概率密度函数.),,,(121分布函数边缘的关于维随机变量称为XXXXnn.),(),,,(2121边缘分布函数的关于维随机变量称为XXXXXnn其它依次类推.),,,,()(111xFxFX),,,,,(),(2121,21xxFxxFXX3.边缘分布函数边缘概率密度分别为的关于关于则),(,),,,(21121XXXXXXn.)1(),,,(21率密度维边缘概的同理可得nkkXXXn,),,,(),,,(2121密度的概率是若nnXXXxxxf,ddd),,,()(322111nnXxxxxxxfxf.ddd),,,(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf4.边缘概率密度函数5.相互独立性有若对于所有的nxxx,,,21.,,,21是相互独立的则称nXXX有若对于所有的nmyyyxxx,,,,,,,2121),()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn),,,(),,,(),,,,,,,(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF,),,,,,,,(),,,(),,,,(,,2121212121的分布函数和依次为随机变量其中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),,(),,(11相互独立与则称随机变量nmYYXX.),,,(),,,(,,.),,2,1(),,2,1(,),,,(),,,(21212121相互独立和则是连续函数若又相互独立和则立相互独和设nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX定理6.重要结论三、小结则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),(.2yfxfyxfYXYX).()(),(yfxfyxfYX}.{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX.)()(,.3也相互独立和则相互独立和YgXfYX相互独立和YX1.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij