九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案

九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址【例题求解】【例1】如图，⊙o与⊙o1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明．思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间．解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性．【例2】如图，四边形ABcD是⊙o的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与cB的延长线交于点E．求证：AB•DA=co•BE；若点E在cB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立?思路点拨对于，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB•DA=cD•BE成立，即要证△ABE∽△cDA，已有条件∠ABE=∠cDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到．注：许多开放性问题解题思路也是开放的，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返．【例3】如图1，若⊙o1与⊙o2外切于A，Bc是⊙o1与⊙o2外公切线，B、c为切点，求证：AB⊥Ac．如图2，若⊙o1与⊙o2外离，Bc是⊙o1与⊙o2的外公切线，B、c为切点，连心线o1o2分别交⊙o1、⊙o2于m、N，Bm、cN的延长线交于P，则BP与cP是否垂直?证明你的结论．如图3，若⊙o1与⊙o2相交，Bc是⊙o1与⊙o2的公切线，B、c为切点，连心线o1o2分别交⊙o1、⊙o2于m、N，Q是线段mN上一点，连结BQ、cQ，则BQ与cQ是否垂直?证明你的结论．思路点拨本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把的证法类比运用到、问题中．注：开放性问题还有以下呈现方式：先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化．【例4】已知直线与轴、轴分别交于A、c两点，开口向上的抛物线过A、c两点，且与轴交于另一点B．如果A、B两点到原点o的距离Ao、Bo满足Ao＝3Bo，点B到直线Ac的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式；是否存在这样的抛物线，使得tan∠AcB=2，且△ABc外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．思路点拨通过“点B到直线Ac的距离等于”，利用等积变换求出A、B两点的距离；先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论．【例5】如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为、，底角和顶角分别为、．要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?对你认为不够合理的方案，请加以改进；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．思路点拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法．注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论．（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野．（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论．研究性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法．学力训练．如图，是四边形ABcD的对称轴，如果AD∥Bc，有下列结论：①AB∥cD，②AB=Bc；③AB⊥Bc；④Ao=oc．其中正确的是．2．如图，是一个边长为的小正方形与两个长、宽分别为、的小矩形ABcD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：①；②；③．3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．4．如图，已知AB为⊙o的直径，直线与⊙o相切于点D，Ac⊥于c，Ac交⊙o于点E，DF⊥AB于F．图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；若AE=3，cD=2，求⊙o的直径．5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料．现找出其中的一种，测得∠c=90°，Ac=Bc=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABc的边上，且扇形的弧与△ABc的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径．6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点c，若oB=4oA，且以AB为直径的圆过c点．求此抛物线的解析式；若点D在此抛物线上，且AD∥cB．①求D点的坐标；②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形AcBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．7．给定四个命题：①sinl5°与sin75°的平方和为1；②函数的最小值为-10；③；④，则x=10”，其中错误的命题的个数是．8．①在实数范围内，一元二次方程的根为；②在△ABc中，若Ac2+Bc2>AB2，则△ABc是锐角三角形；③在△ABc和△AB1c1中，、、分别为△ABc的三边，、、分别为△AB1c1的三边，若>，>，>，则△ABc的面积大S于△AB1c1的面积S1．以上三个命题中，真命题的个数是A．0B．1c．2D．39．已知：AB是⊙o的直径，AP、AQ是⊙o的两条弦，如图1，经过B做⊙o的切线，分别交直线AP、AQ于点m、N．可以得出结论AP•Am＝AQ•AN成立．若将直线向上平行移动，使直线与⊙o相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；若将直线继续向上平行移动，使直线与⊙o相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由．0．如图，已知圆心A，A与轴相切，⊙B的圆心在轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线mP交轴于点m，交轴于点N．（1）若sin∠oAB=，求直线mP的解析式及经过m、N、B三点的抛物线的解析式；若A的位置大小不变，⊙B的圆心在轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过m作⊙B的切线mc，切点为c在此变化过程中探究：①四边形omcB是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过m、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由．1．有一张矩形纸片ABcD，E、F、分别是Bc、AD上的点，若EF将矩形ABcD分成面积相等的两部分，设AB=，AD=，BE=．求证：AF=Ec；用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形EcDF的下方，使一底边重合，一腰落在Dc的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'c．①当为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点?②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE'，直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当与有何种数量关系时，它们就垂直?2．证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么，、、都是整数．写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．3．已知四边形ABcD的面积为32，AB、cD、Ac的长都是整数，且它们的和为16．这样的四边形有几个?求这样的四边形边长的平方和的最小值．参考答案