模糊数学---华中农业大学

建模专题讲座模糊数学华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播前言人脑较之精确计算机，就是能在信息不完整不精确的情况下，作出判断与决策，模糊性常常是信息浓缩所致，目的是为了提高交换的概率，所以不是毫无用处，而是积极的特性。如果到火车站去接人，如下描述“大胡子，高个子，长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”除了男人的信息是精确的之外，其它信息全是模糊的，但是我们却能够找到那个人。第一讲模糊集合及其运算一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：AuAu),(}1,0{:uuUAA其中AuAuuA,0,1)(函数称为集合A的特征函数。A华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播1、模糊子集定义：设U是论域，称映射]1,0[)(],1,0[:~~xxUAA确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函~A~A~A数，称为对的隶属程度，简称隶属度。)(~xAx~A模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者~A~A是等同的。为简单见，通常用A来表示和。~A~A华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播论域190,180,170,160,150,140U模糊集A：高个子定义隶属函数（具有主观性）：140190140xxA19011808.01706.01604.01502.01400A模糊集并不再回答“是或不是”的问题，而是对每个对象给一个隶属度，所以与经典集有本质区别。而且与隶属函数是捆绑一起的，所以可以不做区分。（还是经典集合）（Zadeh表示法）华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为4032.028.011A可省略华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((余：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播几个常用的算子：（1）Zadeh算子),(},min{},,max{babababa（2）取大、乘积算子),(abbababa},,max{（3）环和、乘积算子),ˆ(abbaabbaba,ˆ华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（4）有界和、取小算子),(},min{),(1babababa（5）有界和、乘积算子),(abbababa),(1（6）Einstain算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(ijr称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(例：则设,2.03.004.0,3.02.01.01BA3.03.01.01BA2.02.004.0BA7.08.09.00cA8.07.016.0cB华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。}1)max{(skbackjikij例：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的,)(nmijaAnmTijTaA)(转置矩阵，其中。jiTijaa（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称,)(nmijaA],1,0[nmijaA)()(为模糊矩阵A的截矩阵，其中ijijijaaa,0,1)(华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播例：则设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A第二讲模糊聚类分析一、基本概念及定理定义：设nnijrR)(是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足（1）自反性：);1(iirRI（2）对称性：);(jiijTrrRR（3）传递性：);}1)max{((2ijkjikrnkrrRR则称R为模糊等价矩阵。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播自反性可推出：2RR与传递性：2RR结合，可得到：模糊等价矩阵实际满足:2RR传递性的理解：若xi与xk有关系R，xk与xj有关系R，则xi与xj有关系R，这种关系可以理解为大于等于某个阈值λ，在传递性下，.2RR等价布尔矩阵是一种普通关系，在传递性条件下，是可以分类的，即rij=1，则xi与xj为一类。我们要分类必须将模糊等价矩阵转化为等价布尔矩阵。所以引入λ截矩阵。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播定理：设R是n阶模糊等价矩阵，则,10R所决定的分类中的每一个类是R所决定的分类中的某个子类。该定理表明，当时，R的分类是R分类的加细，当由1变到0时，R的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播例：设对于模糊等价矩阵},,,,,{54321xxxxxU16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R当1时，分类为};{},{},{},{},{54321xxxxx当8.0时，分类为};{},{},{},,{54231xxxxx当6.0时，分类为};,{},{},,{54231xxxxx当5.0时，分类为};{},,,,{25431xxxxx当4.0时，分类为}.,,,,{54321xxxxx华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播A=[10.40.80.50.5;0.410.40.40.4;0.80.410.50.5;0.50.40.510.6;0.50.40.50.61]输入数据：[Alamd]=fuzzy_lamdjjz(A)调用函数：lamd=0.6000所对应的截矩阵是Alamd=1010001000101000001100011C=132045输出结果（部分）：华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播实际应用中建立一个模糊等价矩阵式不容易的，传递性不易满足。华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播定义：设nnijrR)(是n阶模糊方阵，I是n阶单位方阵，若R满足（1）自反性：RI；（2）对称性：RRT；则称R为模糊相似矩阵。定理：设R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数)(nkk，使得kR为模糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有.klRRkR称为R的传递闭包矩阵，记为).(RtiiiRRtRRRRR22242)(,1华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播例：设有模糊相似矩阵13.02.03.011.02.01.01R213.02.03.012.02.02.01RRR).(13.02.03.012.02.02.01222RtRRR华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播R=[10.10.2;0.110.3;0.20.31]输入数据：调用函数：[A]=fuzzy_cdbb(R)A=1.00000.20000.20000.20001.00000.30000.20000.30001.0000输出结果：华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵设论域},,,{21nxxxU为被分类对象，每个对象又由m个指标表示其性状：),,2,1(},,,{21nixxxximiii则得到原始数据矩阵为.)(mnijxX在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有：华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（1）标准差标准化对于第i个变量进行标准化，就是将ijx换成ijx，即)1,1(mjniSxxxjjijij式中：.)(11,1121nijijjniijjxxnSxnx华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（2）极差正规化}min{}max{}min{ijijijijijxxxxx（3）极差标准化}min{}max{ijijjijijxxxxx（4）最大值规格化jijijMxx其中：),,,max(21njjjjxxxM华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播２、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法①夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121②相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(建立ix与jx相似程度),(jiijxxRr的方法主要有：华中农业大学数学建模系列课件版权所有，不得传播（2）距离法一般地，取)),((1jiijxxdcr，其中,c为适当选取的参数，它使得.10ijr采用的距离有：①Hamming距离mkjkikjixxxxd1),(②Eucl