欧几里得空间与酉空间

定义设V是实数域P上的线性空间，在V上定义一个二元实函数，称为内积，记为,，它具有以下性质：（1）),(),(；（2）,,,；（3）,,aa；（4),0,当且仅当0时，0,，这样的线性空间V称为Euclid空间，简称为欧氏空间．1.5.1欧几里德空间的定义及性质1.5欧几里德空间与酉空间例1考虑线性空间nR，对任意的nR,，不妨设naaa,,,21，nbbb,,,21，规定nnbababa2211),(，易验证满足定义的条件，所以线性空间nR对于如上规定的运算构成一个欧式空间．例2考虑线性空间nR，对任意的nR,，不妨设naaa,,,21，nbbb,,,21，规定nnbnababa22112,，不难验证线性空间nR对于如上规定的运算也构成一个欧式空间．由此可见，对于同一个线性空间可以引入不同的内积，从而构成不同的内积空间．例3设[,]Cab为定义在区间ba,上一切连续实函数所构成的线性空间，对任意的xgxf,[,]Cab，规定badxxgxfgf,．可以证明线性空间[,]Cab是一个欧氏空间．设V是实数域P上的欧式空间，对于任意的,,V，aP，不难导出如下性质．（1）,,,；（2）),(),(aa；（3）(,0)(0,)0．定义在欧式空间V中，非负实数,称为V中向量的长度（或模、或范数），记为,(或)．例4在欧氏空间nR中，对任意的向量naaa,,,21nR，有22221naaa．在欧氏空间[,]Cab中，对任意的向量xf[,]Cab，有badxxfxf2)(．定理设V是实数域P上的欧式空间，则向量的长度具有如下性质：（1）0，当且仅当0时，0；（2）对任意的aP，有||||aa；（3）对任意的,V，有|(,)|||||，并且等号成立的充分必要条件是,线性相关．定义在欧氏空间中非零向量,的夹角由式,arccos确定，其中0．定义设V为欧氏空间，对任意的向量,V，如果0,，则称与正交，记作．例5在nR中，向量组niiii,,2,1,0,,0,1,0,,0)(中任意两个向量ji,ji正交．例6零向量与任意向量正交.设V是一欧式空间,在V中取一组基对V中任意两个向量n,,,21LnnxxxL2211nnyyyL2211有jijninjiyx),(),(11令则),,2,1,(),(njiajiijLnnTyyyyxxxxAyxMM2121,),((1)不同基下的度量矩阵是合同的(2)度量矩阵是对称正定的矩阵称为基的度量矩阵nnijaA)(n,,,21L度量矩阵具有如下性质：定义设V为欧氏空间，若k,,,21V，且满足,0,;,1,2,,ijijijk，则称k,,,21为欧氏空间V中一个正交系；若同时k,,,21均为单位向量，则称k,,,21为V中一个标准正交系；进一步，若k,,,21还是V的一个基，则称k,,,21为V中一个标准正交基．定理若k,,,21是欧氏空间V中一个非零正交系，即kjijijii,,2,1,;,0,,0，则k,,,21必线性无关．1.5.2标准正交基定理在n维欧氏空间V中必存在标准正交基n,,,21，即jijiijji01),(nji,,2,1,符号ij叫做Kronecker符号．证明设n,,,21是n维欧氏空间V中的一个基，首先取11，则1是1的线性组合，并且01．其次取1111222,,，则2是21,的线性组合，又因为12,0),(,,),(11111212，所以2与1正交．因为21,线性无关，所以02．假设nk1，而满足条件的121,,,k都已作出取k=112211kkklll其中),(),(iiikil（1,,2,1ki）因此k是k,,,21的线性组合．由于kk,,,,121线性无关，可知0k，又因为121,,,k两两正交，所以ikik,,0),(,,iiiiik(1,,2,1ki)因此n,,,21满足定理的要求．再令iii(ni,,2,1)，则{n,,,21}就是n维欧氏空间V的一个标准正交基．施米特（Schmidt）正交化方法．例7在欧氏空间3R中，对于基1,1,11，0,1,12，0,0,13施行正交化方法，求出3R的一个标准正交基．再令111=31,31,31，222=62,61,61，333=0,21,21解取1=1,1,11，由施米特正交化方法：2111122,,32,31,31，3=111133,,22223,,=0,21,21，所以321,,是3R的一个正交基；定理设neee,,,21是欧氏空间V中的一个标准正交基，对任意的向量V，在基neee,,,21下的坐标为nxxx,,,21，则iiex,，（ni,,2,1）证明因为njjjex1，所以ie,),(1injjjeexnjijjeex1),(=iiiixeex,（ni,,2,1）定义如果n阶实矩阵A满足EAAAATT，则称A为正交矩阵．1.5.3正交矩阵与正交变换容易验证：若BA,都是n阶正交矩阵，则（1）A可逆，且1||A；（2）TAA1，且1A也是正交矩阵；（3）AB也是正交矩阵．例8设R，11cossin11sincos11),(jiAjiij则),(jiA是正交矩阵，称为Givens矩阵．定理设{neee,,,21}与{neee,,,21}是欧氏空间V中的两个标准正交基，则由{neee,,,21}到{neee,,,21}的过渡矩阵为正交矩阵．证明设ienjjjiec1，则jiijee,（nllliec1，nkkkjec1）lknlnkkjlicc11nlnlljlicc11所以ECCT，即矩阵C为正交矩阵．定理A是n阶正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：（1）A的行（列）向量组是两两正交的单位向量；（2）A的行（列）向量组构成nR的一个标准正交基；（3）TAA1．定义设T是n维欧氏空间V的线性变换，若T能保持V中向量的内积不变，即对任意V,，都有),())(),((TT则称T为V上的正交变换．定理设T是n维欧氏空间V上的线性变换，则下列各命题等价：（1）T是正交变换；（2）T保持向量的长度不变，即对任意V，都有|||)(|T；（3）如果n,,,21是V的一个标准正交基，则)(,),(),(21nTTT也是V的一个标准正交基；（4）T在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证明)2()1(在定义中取即得．)3()2(取ji),,2,1,(nji，则),((jiT))(jiT,(ji)ji化简得))(),((iiTT+))(),((2jiTT+))(),((jjTT=),(ii+),(2ji+),(jj因为1),(|||)(|))(),((22iiiiiiTTT，),,2,1(ni得))(),((jiTT0),(ji，),,2,1,,(njiji知)(,),(),(21nTTT是标准正交基．)1()3(设n,,,21与)(,),(),(21nTTT都是V的标准正交基，则对任意V,，且niiix1，niiiy1有())(),((TT,)(1niiiTx),())(11niiiniiiyxTy所以T是正交变换．)4()3(设n,,,21与)(,),(),(21nTTT都是V的标准正交基，T在基n,,,21下的矩阵为),,,()(21nijaA，即有))(,),(),((21nTTTAn),,,(21于是，对nji,,2,1,，有))(),((jiTT,(1nkkkia)1nsssja即A的列向量是标准正交向量组，A是正交矩阵．nknssksjkiaa11),(kjnkkiaa1),(ji)3()4(显然．例9设T是欧氏空间3R的一个线性变换，对任一3321),,(Rxxx，恒有),,()),,((123321xxxxxxT，证明：T是3R的正交变换．证明任取3321),,(Rxxx，由于())(),((TT),,,(123xxx)),,(123xxx所以|||)(|TT是正交变换．),(212223xxx例10设T是欧氏空间V的一个线性变换．证明：T是正交变换的充要条件是：T保持任意两个向量的距离不变，即对任意V,，有|||)()(|TT证明必要性．设T是正交变换，则T保持向量的长度不变，所以，|)(||)()(|TTT||充分性．设对任意V,，有|||)()(|TT．令0，则|||)(|T，T是正交变换．1.5.4对称矩阵与对称变换定义设T是n维欧氏空间V的线性变换，若对任意V,，都有),(),(TT则称T为V上的对称变换．定理设T是n维欧氏空间V上的线性变换，则T是对称变换的充分必要条件是T在V的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵．定义设V是复数域P上的线性空间，在V上定义一个二元复函数，称为内积，记为,，它具有以下性质：（1）,,；（2）,,,；（3）,,aa；（4),0,当且仅当0时，0,，这样的线性空间V称为酉空间．1.5.5酉矩阵与酉变换例11考虑线性空间nC，对任意的nC,，不妨设naaa,,,21，nbbb,,,21，规定1122,nnababab，易验证线性空间nC对于如上规定的运算构成一个酉空间．定义如果n阶复矩阵A满足EAAAAHH则称A为酉矩阵．这里HA是A的共轭转置．设V是复数域P上的酉空间，对于任意的,,V，aP，不难导出如下性质：（1）,,,；（2）(,)(,)aa；容易验证：若BA,都是n阶酉矩阵，则（1）A可逆，且A的行列式的模等于1；（2）HAA1，且1A也是酉矩阵；（3）AB也是酉矩阵．定理A是n阶酉矩阵的充要条件是下列条件之一成立：（1）A