正弦激励下RL与C并联电路的稳态分析

正弦激励下RL支路与C支路并联电路的稳态分析：一、数学问题：一阶线性微分方程的一般形式如（1）式所示，dydx+P(x)y=Q(x)(1)当Q(x)恒等于0的时候称为齐次方程，否则称为非齐次方程，对应齐次线性方程dydx+P(x)y=0(2)的通解是：y=C()(3)C是根据初始条件确定的待定常数而对应非齐次线性方程(1)的通解是：y=(){∫Q(x)()dx+C}(4)这个通解可以写成下面的形式：y=C()+()∫Q(x)()dx(5)(5)式第一项是齐次线性方程的通解，第二项是在(4)式中令C等于0时非齐次线性方程的一个特解。（记住(1)和(5)式就行了,）二、RL电路在正弦激励下的稳态分析归纳为求一阶非齐次线性方程的一个特解的问题：有一个电路如图1所示，其中电源电动势为us=Emsinωt(Em、ω都是常量)，电阻R和电感L都是常量.求电流i(t)图1列回路电压方程：uL+uR=us即L+Ri=Emsinωt整理后得+i=sinωt(6)(6)式与(1)式比较，可以看出这是一个非齐次线性方程，其中y=i,x=t,P(x)=P(t)=,Q(x)=Q(t)=sinωt,将之代入(5)式，得i(t)=C+(∫sinωtdt)(7)(7)式第一项是暂态电流，随着t的增加逐渐衰减到0，第二项是稳态电流，因为是稳态分析，在忽略第一项的情况下，得i(t)={∫sinωtdt}(8)应用分布积分法得∫sinωtdt={/(R2+ω2L2)}(RLsinωt-ωL2cosωt)将上式代入(8)式，即得i(t)={Em/(R2+ω2L2)}(Rsinωt-ωLcosωt)(9)令φ=ractan则有cosφ=√,sinφ=√代入(9)式，得i(t)=√sin(ωt–φ)这个结果就相当于求出了你给我的图中RL串联支路的电流.电容支路的电流相对比较好求，因为ic(t)=C(Emsinωt)=ωCEmcos(ωt)(10)=ωCEmsin(ωt+)如果把两个支路的电流相加[(9)式加上(10)式]，就可以求出总的电流：iG(t)=ωCEmsin(ωt+)+√sin(ωt–φ)三、向量法基础：相量法是分析研究正弦电流电路稳定状态的一种简单易行的方法。它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。根据电路的基本定律VCR(元件的电压电流关系)、KCL（基尔霍夫电流定律）和KVL（基尔霍夫电压定律），编写含有储能元件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微(积)分方程。例如图2所示的RLC串联电路为例：电路的KVL方程为uR+uL+uC=uS,图2uR=Ri,uL=L,uC=∫idt(i=C,du=dt,∫du=∫dt,u=∫idt)将上述元件的VCR代人KVL方程有Ri+L+∫idt=uS(11)由数学理论可知，当us(激励)为正弦量时，上述微分方程中的电流变量i的特解(响应的稳态分量)也一定是与us同一频率的正弦量，反之亦然。这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间，仅在振幅、初相位上存在“差异和联系”，这种“差异和联系”正是正弦稳态分析求解中的关键问题。现以式(11)的求解为例，说明相量法的基础。若已知式(11)中的正弦电源us为uS=Emsin(ωt+φu)则电流i的特解将是与us同一频率的正弦量，因此，可设为i=Imsin(ωt+φi)式中Im、φi为待求量。将上述正弦量代人式(11)后，则可将微分方程式(11)变换为RImsin(ωt+φi)+ωLImcos(ωt+φi)-Imcos(ωt+φi)=Emsin(ωt+φu)上述方程说明，正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本定律所涉及的正弦电流、电压的运算，不会改变电压、电流同频正弦量的性质，即正弦量乘常数(Ri)，正弦量的微分(uL)、正弦量的积分(uc)和同频正弦量的代数和(KVL、KCL)等运算，其结果仍是同频的正弦量。可以看出，各同频正弦电压、电流之间，在振幅、初相上的“差异和联系”寓于正弦函数描述的电压、电流表达式及电路方程中。无疑，求解和分析同频正弦函数所描述的电路方程，将能获得正确的结果或结论，但这一方法对于复杂电路将显得非常繁琐，使分析求解相当困难。根据欧拉公式，可将正弦函数用复指数函数表示，如前所述的正弦量uS。和i可表示为uS=[Emej(ωt+φu)-Eme-j(ωt+φu)]i=[Imej(ωt+φi)-Ime-j(ωt+φi)]上述变换表明，一个正弦量可以分解为一对共扼的复指数函数。根据叠加定理和数学理论.只要对其中一个分量进行分析求解，就能写出全部结果。如取分量Emej(ωt+φu),则对应的响应分量为Imej(ωt+φi),代入(11)式求解得RImej(ωt+φi)+jωLImej(ωt+φi)+Imej(ωt+φi)=Emej(ωt+φu)上式中消去共有因子ejωt，并整理后得RImejφi+jωLImejφi+Imejφi=Emejφu(12)由（12）式可求得Imejφi=Emejφu=Emejφu()该结果用复数形式表述了正弦量i除频率ω外的另两个要素Im(振幅)和φi(初相)，因此，根据正弦量的3个要素就可以直接写出正弦量i的表达式。这表明方程式(12)在理论上和实际上已足以满足正弦稳态分析的需要，不需要再求解另一分量的结果按欧拉公式写出正弦量i。上述变换只是数学形式的变换，与式(11)相比，并无实质性的区别，但在形式上实现了非常有益的转换，它将与时间有关的同频的正弦函数的电路方程转换为与时间无关的复代数形式的电路方程。更重要的是，它将正弦稳态中全部同频的正弦电压、电流转换为由各正弦量的幅值和初相组合成的复数表示，如Emejφu和Imejφi，使同频的各正弦量在幅值、初相上的“差异和联系”，在电路方程中表述得更清晰、更直观和更简单，这将大大简化对正弦稳态的表述和分析求解的过程。电路理论中将式(12)中与正弦量关联的复数Emejφu和Imejφi定义为正弦量对应的相量，并用对应的带“·”点符号的大写字母表示。因为打不出带“·”点符号的大写字母，这里只能用大写字母本身来表示。如上述的正弦电压us和正弦电流i对应的向量表示分别为+jEEmejφu=Em∠φuEIImejφi=Im∠φi即正弦波的向量是一个复数，它的模是正弦量的幅值,它的辅角是正弦量的初相.正弦波对应的向量可根据上述定义直接写出。向量在复平面φu+1上的表示如图3。图3电路定律的向量形式：1）VCR（元件的约束,向量形式的欧姆定律）电阻R：E=RI，电感L：UL=jωLIL,电容C：UC=-jICR称为电阻，jωL称为感抗，-j称为容抗。总称为阻抗，一般来说阻抗是一个复数，电阻是复数的实部，感抗和容抗之和称为电抗是阻抗的虚部。在激励下由于电抗的存在，响应的初相角会发生变化，在RLC串联电路中这个初相角的变化可表示为φ=arctan()、一般情况下，如果等效阻抗用R+jX表示,则有φ=arctan，并且Im=√。2)KCL（基尔霍夫电流定律）的向量形式：对电路中任一结点有i1+i2+i.3+…+ik+…=0或∑当式中的电流全部都是同频率的正弦量时，则可变换为相量形式为I1+I2+I.3+…+Ik+…=0或∑即任一结点上同频的正弦电流的对应相量的代数和为零。2）KVL（基尔霍夫电压定律）的相量形式:对电路中任一回路有u1+u2+u.3+…+uk+…=0或∑当式中的电压全都是同频的正弦量时，可变换成相量形式为U1+U2+U3+…+Uk+…=0或∑即任一回路中同频的正弦电压的对应相量的代数和为零。回到那道题里：前边已经解决的问题是分别求出了电容支路的电流和RL串联支路的电流Ic和IL。现在我们用向量法求一下两个支路电流之和IG=Ic+IL=jωCE+=E[()]这个结果剩下的都是复数的乘除计算，最好的方法就是把复数写成指数的形式，为了便于理解我先把分子和分母上的两个复数设为A、B并有A=()=∣A∣ejφa;∣A∣=√()(),φa=arctanB=R+j=∣B∣ejφb;∣B∣=√(),φb=arctan以上两式连同E=Emejφu一起代入上式得IG=E[()]==(Emejφu)(∣A∣ejφa)/(∣B∣ejφb)=[Em∣A∣/∣B∣]ej(φu+φa-φb)=[Em∣A∣/∣B∣]ej(φa-φb)(因为本题中电源的初相角φu=0)根据上面的向量表达式，直接可以写出iG的正弦表达式iG=√()()√()sin(ωt+arctanarctan)