正态分布性质研究

正态分布性质正态分布定义：若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为F(x)=√exp（（））则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。正态分布可以写成自然指数分布族分布形式F(x；𝜽)=√exp（（））=√exp（）=√exp（）exp（）其中，（𝜽）=，h（x）=√exp（）则正态分布族属于自然指数分布族。正态分布数字特征（1）正态分布的期望：E（X）=∫√exp（（））dx=√∫（）dt=√∫dt+√∫dt=μ(2)D(X)=∫f(x)dx=∫f(x)dx=∫*√exp（（））dx令=t,得D(X)=√∫dt=√（）+∫dt)=0+√√=正态分布的图形性质（1）σ变换：正态分布有两个参数，即均值μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均值μ决定正态曲线的中心位置，标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若μ固定，而改变σ的值，则当x=μ时，f（x）=√。由此可知，σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。f（x）OμX（2）μ变换：为了便于描述和应用，常将正态变量做数据转换。μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x=μ为对称轴，左右完全对称。当σ恒定后，而改变μ的值，则f（x）的图形沿x平行移动，但不改变其形状。μ越大，则曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降（3）曲线y=f（x）在x=μ+σ处有拐点且曲线y=f（x）以OX轴为渐近线，无限逼近。（4）在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积始终为1。3σ原则：P（μ-σX≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σX≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σX≤μ+3σ）=99.7%在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，）的随机变量只取（μ−3σ，μ+3σ）之间的值，并称为3σ原则。正态分布的线性性质（1）X~N(0，1),Y=-X,则Y~N(0，1)证：Y的分布函数F（y）可表示为：F（y）=P(Yy)=P(-X)=P(X)=1-Φ（-y）=1-[1-Φ(y)]=Φ(y)故Y~N(0，1)(2)设随机变量x~N（μ，），当b0时有Y=a+bx~N(a+bμ,)证明：令Z=（）当b0时，Z==故Z~N(0，1),从而Y~N(a+bμ,)当b0时，Z==根据性质（1），因为~N(0，1)，所以Z~N(0，1)则Y~N(a+bμ,)综上Y=a+bx~N(a+bμ,)（3）X~N（，），Y~N(，),且X与Y相互独立，则Z=X+Y~N()证明：X+Y=(+)++X~N()则Y=aX+b~N(b+aμ,)由此可推出~N(0，)~N(0，1)所以+~N(0，1+)X+Y~N[+,]=N()标准正态分布，图形性质的集中性均匀变动性等