武汉大学研究生入学考试量子力学考研真题

武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。一．计算题（20分×4题）1.粒子以能量E由左向右对阶梯势0,00,)(0xxUxU入射，求透射系数。讨论如下三种情况：（1）－U0E0；（2）E0；（3）E0,但由右向左入射。解：⑴－U0E0写出分区薛定谔方程为：0,20,2222221102122xEdxdxEUdxd令：201)(2UEk，222Ek可将上述方程简化为：0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexkxkxikxik由)(2有限，得B＝0由波函数连接条件，有：BkAAikBAA21'2'221)()0()0()0()0(解得：AkikkiBAkikkikA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数0)(2,||,||2*2*222121iJeAkJeAkJDxRx1)(||||||||22121kikkikAAJJRR0||||JJDD满足R+D＝1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0的区域找到电子的几率不为零。类似于光的“全内反射”。⑵E0写出分区薛定谔方程为：0,20,2222221102122xEdxdxEUdxd令：201)(2UEk，222Ek可将上述方程简化为：0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexikxikxikxik考虑到没有从右向左的入射波，B’＝0由波函数连接条件，有：BkAAkBAA21'2'221)()0()0()0()0(解得：AkkkBAkkkkA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数xDxRxeBkJeAkJeAkJ222121||,||,||402020022121)()()(||||||||EUEUEUEEUEkkkkAAJJRR20022111212)()(4)2(||||||||EUEUEEkkkkkAkBkJJDD满足R+D＝1可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。⑶E0,粒子从右向左入射仿⑵，有0,0,221121xeBBexeAAexikxikxikxik但B’为入射波系数，B为反射波系数，A’为透射波系数，A＝0.由波函数的标准条件，有)()0()0()0()0(21'2'221BBkAkBBA解得：BkkkkBBkkkA21212122据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数xDxRxeAkJeBkJeBkJ212222||,||,||402020022121)()()(||||||||EUEUEUEEUEkkkkBBJJRR20022122121)()(4)2(||||||||EUEUEEkkkkkBkAkJJDD满足R+D＝1可见，仍有粒子被反射。2.一维谐振子在t＝0时处于归一化波函数)()(51)(21)0,(420xCxxx所描述的态中，式中)(),(),(420xxx均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（1）待定系数C；（2）t＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（3）t0时，体系的状态波函数),(tx。（4）t＝0与t0时体系的)(,)0(txx。解：用Dirac算符4|2|510|21)0,(|Cx⑴由1)0,(|)0,(xx，可求得103C⑵能量可能取值21，25，29相应的几率1/2，1/5，3/10因为n＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶⑶tititieeetx2925214|1032|510|21),(|⑷利用)ˆˆ()2(ˆ21aax，有4|1032|510|21)(ˆˆ)(103|451|221|0()2()0,(|)ˆˆ(|)0,()2()0,(||)0,()0(2121aaxaaxxxxx＝00),(|)ˆˆ(|),()2(),(||),()(21txaatxtxxtxtx3.若试探波函数取为22)(,2eaNear，其中N为归一化波函数，为变分参数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。解：先将波函数归一化2322323220322)(202)2()221(21)2(4)2(441aNaNdxxeaNdrreNxar432)2(aN而氢原子的哈米顿为rerLrrrrHs2222222ˆ)([2ˆ所以drrererrrreNHEarars2)(22220)(24])(2[|ˆ|22rdreeNdrerareNarararas222)(2022)(3220)(24)]2(2[4rdreeNdrrareaNararas22)(20224220)(22224)23(224drreaNar)3(22420)(22222＋drraeaNar)2(224420)(22222－rdreeNaras2)(20224＝)23(21)2(32243222aaN－)25(21)2()2(2452222aaN－)1(21)2(4222aeNs＝2221222232523aeNaNs＝223123232323252323232322232aeaaas＝212123222223aeas令0ddE，得到98984242aes所以：aeaeEss22min424.034，精确解为：aeaeEss220500.02变分值略大于精确值。基态波函数为22)(98220,)916(243eaeaar4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x≤a)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。解：忽略相互作用时，体系的能量本征值为)(2222122221nnaEEE（n1，n2＝1,2,3,…）体系的总波函数是反对称的：)s,s()x,x(z2z121⑴基态n1＝n2＝1，基态能量为222aE基态波函数为)]()()()([2),(),(212121212121212121zzzzASssssaxSinaxSinaxxxx可见基态能级不简并。⑵第一激发态，（n1，n2）＝1,2或（n1，n2）＝2,1激发态能量为22225aE利用]22[2),(212121axSinaxSinaxSinaxSinaxxS]22[2),(212121axSinaxSinaxSinaxSinaxxA)()(),(2121)1(2121zzzzSssss)()(),(2121)2(2121zzzzSssss)]()()()([21),(212121)3(21212121zzzzzzSssssss)]()()()([21),(21212121212121zzzzzzAssssss可形成如下态：单态；),(),(2121)1(xxxxAS三重态：),(),(2121)4,3,2(xxxxSA