2.3.1直线与平面垂直的判定和性质

1.2.3直线与平面垂直ab2.直线和平面有那些位置关系?αaαAaaα1.两直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直大桥的桥柱与水面垂直生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？实例引入ABα讨论：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？旗杆与底面垂直BACBC一条直线与一个平面垂直的意义是什么？如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？直线垂直于平面内的任意一条直线．BACBC引入新课一条直线与一个平面垂直的意义是什么？如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？直线垂直于平面内的任意一条直线．不一定lP如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作．l平面的垂线直线l的垂面垂足直线与平面垂直直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离。lP画直线与平面垂直时，通常把直线画成表示平面的平行四边形的横边垂直，如图所示．直线与平面的一条边垂直结论如果一条直线垂直与一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。abclP除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？尝试探究1、直线与平面内的一条直线垂直，能否保证？2、直线与平面内的两条直线垂直，能否保证？3、直线与平面内的无数条直线垂直，能否保证？llllll4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．alblabAbal作用：判定直线与平面垂直．线线垂直线面垂直思想：直线与平面垂直判定定理lmnP1.如果一条直线l和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线l⊥α面判断：2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b,m,n,mlnll3.1、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交练习题2、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.四个命题都正确。CB3、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（）A平行B垂直C相交D不确定ABC练习B例1一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直．为什么？BAPO解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m.因为A，O，B三点不共线，所以A，O，B三点确定平面．又因为222222,PBOBPOPAOAPO所以.,OBOPOAOP又因为:,OOBOA所以:.OP因此，旗杆OP与地面垂直．ACVBBCABVCVAABCV求证中在三棱锥如图,,,练习题VABC.D例2.如图,已知:∩β＝l,PA⊥于Α,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,求证:BQ⊥l.lQBAP欲证BQ⊥l⇔l⊥平面BPQ⇔l⊥PQ⇔l⊥平面PAQ例3如图，已知，求证aba,//.bbamn根据直线与平面垂直的定义知.,nama又因为ab//所以.,nbmb又nmnm,,,是两条相交直线，所以.b证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，a线面垂直性质定理：1.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。ab线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行//aabbab//aabb//abab证明：∵b⊥γ，β∩γ=a，∴b⊥a；∵c⊥β，β∩γ=a，∴c⊥a；∵b∩c=E，bα，cα,∴a⊥α。αβγabcE练习：已知：bα,cα,b∩c=E，β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。求证：a⊥α。.ABCD:.EB,EACD,=:.1求证已知EABCD练习题6.如图,M是菱形ABCD所在平面外一点,满足MA=MC,求证:BDMAC平面MBCDAO练习7.如图，在空间四边形ABCD中,PA⊥面ABC,AC⊥BC,若AE⊥PB,AF⊥PC求证：EF⊥PBAFEPCB练习证明：连接BD∵正方体ABCD-A’B’C’D’∴DD’⊥面ABCD∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD’∩BD=D∴AC⊥面D’DB∴AC⊥BD’ABDCA’B’C’D’例3已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与AC异面的体对角线。求证：AC⊥BD’ABCDDCBA如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ABCDDBCAAABBCCDD底面四边形对角线相互垂直．ABCD随堂练习1．直线与平面垂直的概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．线面垂直线线垂直知识小结2．直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线3.直线与平面垂直的性质定理lnlmlBnmm(2)nbaba，（1）直线与平面垂直的判定与推论baba//,)1(baba,)2(推论：._____,,,).3._____,).2.__,90,).1.,,,,,.20心的是则若心的是则若点边的是则若连接为垂足作外一点所在平面过ABCOPAPCPCPBPBPAABCOPCPBPAABOCPCPBPAPCPBPAOPOPABC探究:中外垂例3已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC???????????????@[e-mail]规范解答：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC???????????????@[e-mail]又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC???????????????@[e-mail]而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC???????????????@[e-mail]又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE???????????????@[e-mail]∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC???????????????@[e-mail]求证：平面外一点与这个平面内各点连结而成的线段中，垂直于平面的线段最短PQR