2013届高考数学一轮复习讲义：-3.1-导数的概念及其运算

主页一轮复习讲义导数的概念及其运算主页1．平均变化率函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.忆一忆知识要点f(x2)－f(x1)x2－x12．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的，记作．f(x0＋Δx)－f(x0)Δx可导f′(x0)导数ΔyΔx要点梳理主页(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的．相应地，切线方程为．3．函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作．忆一忆知识要点(x0，f(x0))y－y0＝f′(x0)(x－x0)切线的斜率f′(x)要点梳理主页4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝忆一忆知识要点0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x要点梳理主页5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2忆一忆知识要点6．复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．主页2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是惟一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．主页例1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．利用导数的定义求函数的导数紧扣定义ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx进行计算．解∵Δy＝(x0＋Δx)2＋1－x20＋1＝(x0＋Δx)2＋1－x20－1(x0＋Δx)2＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋(Δx)2(x0＋Δx)2＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋Δx(x0＋Δx)2＋1＋x20＋1.主页求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔfΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．探究提高主页利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.变式训练1解(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx＝1－(1＋Δx)Δx1＋Δx(1＋1＋Δx)主页＝－ΔxΔx(1＋Δx＋1＋Δx)＝－11＋Δx＋1＋Δx，从而，当Δx→0时，ΔyΔx→－12，所以f′(1)＝－12.(2)ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝1x＋2＋Δx－1x＋2Δx＝(x＋2)－(x＋2＋Δx)Δx(x＋2)(x＋2＋Δx)主页＝－1(x＋2)(x＋2＋Δx)，从而，当Δx→0时，ΔyΔx→－1(x＋2)2，所以f′(x)＝－1(x＋2)2.主页例2求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.导数的运算若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．主页解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝ex(lnx＋1x)．(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(4)先化简，y＝x·1x－x＋1x－1＝－x＋x－12，∴y′＝－12x－12x＝－12x1＋1x.212123主页(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．探究提高主页求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sinx21－2cos2x4；(4)y＝11－x＋11＋x；(5)y＝cos2xsinx＋cosx.变式训练2主页解(1)∵∴y′＝(x)′＋(x3)′＋(x－2sinx)′＝－32x＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)方法一y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.方法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.,sinsin23232521xxxxxxxxy2325主页(3)∵y＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12(sinx)′＝12cosx.(4)∵y＝11－x＋11＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－2(1－x)′(1－x)2＝2(1－x)2.(5)y＝cos2xsinx＋cosx＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.主页例3求下列复合函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．主页解(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝3－x由y＝u与u＝3－x复合而成．∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝12u(－1)＝－12u＝－123－x＝3－x2x－6.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.21212121主页(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，∴y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．探究提高主页求下列函数的导数：(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝lnx2＋1；(3)y＝xe1－cosx；(4)y＝1(1－3x)4；(5)y＝x1＋x2.变式训练3解(1)设u＝1＋sinx，则y＝(1＋sinx)2，由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．∴y′＝f′(u)·u′＝2u·cosx＝2(1＋sinx)·cosx.主页(2)y′＝(lnx2＋1)′＝1x2＋1·(x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)y′＝(xe1－cosx)′＝e1－cosx＋x(e1－cosx)′＝e1－cosx＋x[e1－cosx·(1－cosx)′]＝e1－cosx＋xe1－cosx·sinx＝(1＋xsinx)e1－cosx.(4)设u＝1－3x，y＝u－4.则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)＝12(1－3x)5.(5)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.21主页例4已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．导数的几何意义主页解(1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为k＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为k＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.主页∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为：x20＝1，x0＝±1.切点为(－1,1)或1，53，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－53＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.主页利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．探究提高主页已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．变式训练4解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.主页(14分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．一审条件挖隐含审题路线图审题路线图C1与C2有交点↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐