函数单调性和奇偶性练习题

..函数单调性和奇偶性一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分)1．命题“若,xy都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（）A．若xy不是偶数，则x与y都不是偶数B．若xy是偶数，则x与y不都是偶数C．若xy是偶数，则x与y都不是偶数D．若xy不是偶数，则x与y不都是偶数2．下列函数是偶函数的是（）A．sinyxB．sinyxxC．21xyD．xxy2123．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．2xyB．2xyC．22xxyD．22xxy4．下列函数中，不是偶函数的是（）A．24yxB．tanyxC．cos2yxD．33xxy5．（2015秋•石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣B．y=sinxC．y=xD．y=ln|x|6．如图，给出了偶函数yfx的局部图象，那么1f与3f的大小关系正确的是()A.13ffB.13ffC.13ffD.13ff7．设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．)()(xgxf是偶函数B．)(|)(|xgxf是奇函数C．|)()(|xgxf是奇函数D．|)(|xf是偶函数..8．定义在R上的函数)(xfy具有下列性质:①0)()(xfxf;②1)()1(xfxf;③)(xfy在]1,0[上为增函数,则对于下述命题：①)(xfy为周期函数且最小正周期为4;②)(xfy的图像关于y轴对称且对称轴只有1条;③)(xfy在]4,3[上为减函数.正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个9．设)(xf是奇函数，且在),0(内是增函数，又0)3(f，则0)(xfx的解集是A．303|xxx或B．303|xxx或C．3003|xxx或D．33|xxx或10．函数fx的定义域为R,若函数fx的周期6．当31x时,22fxx，当13x时，fxx．则122013fff+2014f（）A．337B．338C．1678D．2012二、填空题(每小题5分，一共6道小题，总分30分)11．若函数(21)1()1axfxxx为奇函数，则a________．12．已知奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=，则f（﹣1）=．13．已知3()4fxaxbx其中,ab为常数，若(2)2f，则(2)f的值等于．14．若函数2()(1)2fxkxkx是偶函数，则)(xf的递减区间是．15．设定义在R上的函数f（x）满足(2)()7fxfx，若f（1）=2，则f（107）=__________.16．设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________．三、解答题(每小题5分，一共4道小题，总分20分)17．已知函数()afxbxx(其中a，b为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两点．..（1）求a，b的值，判断并证明函数()fx的奇偶性；（2）证明：函数()fx在区间[2,)上单调递增．18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．..参考答案1．D【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”，故选D.考点：四种命题的概念.2．B【解析】试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称，且满足()()fxfx，选项A中()sin()sinfxxx()fx，奇函数不符合；选项B中()()sin()sin()fxxxxxfx，偶函数符合；选项C中定义域为0,，不关于原点对称，非奇非偶函数不符合；选项D中1()222()2xxxxfxfx，奇函数不符合．故选B．考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数．3．C【解析】试题解析：A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln22ln20xxy），故选C．考点：函数的单调性、奇偶性4．D【解析】试题分析：A选项，22-=-4=4fxxxfx，所以fx为偶函数；B选项，-tan-fxx=tanxfx，所以fx为偶函数；C选项，-cos2-=cos2fxxxfx，所以fx是偶函数；D选项，3333xxxxfxfx，所以fx为奇函数.故选D.考点：函数奇偶性的定义.5．C【解析】试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．解：y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；..y=sinx在每个区间（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；令f（x）=，其定义域为R，且f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）=3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选：C．考点：函数奇偶性的判断．6．D【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f(-3)=f(3),结合图像可知f(1)f(3),故选D.【答案】D7【解析】试题分析：对于选项A，因为)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且()()()()fxgxfxgx，所以)()(xgxf是奇函数，所以选项A不正确；对于选项B，因为)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且()()()()fxgxfxgx，所以)(|)(|xgxf是偶函数，所以选项B不正确；对于选项C，因为)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且()()()()fxgxfxgx，所以|)()(|xgxf是偶函数，所以选项C不正确；对于选项D，因为)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且()()fxfx，所以|)(|xf是偶函数，所以选项D正确；故应选D．考点：1、函数的奇偶性．8．B【解析】试题分析：（1）由1)()1(xfxf得1)1()2(xfxf，所以得)2()(xfxf，得最小正周期是2.该命题错误.(2)由0)()(xfxf得)()(xfxf，知其是偶函数，图像关于y轴对称，但该函数是周期函数，所以对称轴有无数条.该命题错误.(3)由)(xfy在]1,0[上为增函数，因为是偶函数，所以在]0,1[上为减函数，周期为2，所以)(xfy在]4,3[上为减函数.该命题正确.考点：函数性质的综合考察.9．C【解析】试题分析：因为函数为奇函数，且03f，在,0内是增函数，所以03f，在..0,内是减函数，从而可得03xfx，003xfx，030xfx，03xfx，由此可得满足0xfx的x的取值集合为3003|xxx或．考点：函数单调性与奇偶性的综合应用．10．A【解析】试题分析：由已知得(1)1f，(2)2f，(3)(3)1ff，(4)(2)0ff，(5)(1)1ff，(6)(0)0ff，故1261fff，122013fff+2014f335+1234ffff=337．考点：函数周期性．11．1【解析】试题分析：因为函数(21)11()122axfxxxaxx为奇函数，所以对(,0)(0,)x均有()()fxfx，即112222xaxaxx，所以440,1aa.考点：函数的奇偶性.12．﹣．【解析】试题分析：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可．解：奇函数f（x）当x＞0时的解析式为f（x）=，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣．故答案为：﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．13．10-【解析】试题分析：bxaxxf34，所以判断4xf是奇函数，642f，所以642f，即10462f考点：奇函数【方法点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题型，谨记一些法则，比如，奇函数+奇函数=奇函数，奇函数奇函数=偶函数，奇函数+偶函数=非奇非偶函数，所以本..题xf并不是奇函数，但4xf是奇函数，所以间接利用42f，求42f，最后求2f14．0,（0,也对）【解析】试题分析：若函数212xkkxxf是偶函数，所以1k，则22xxf，所以函数xf的递减区间是0,．考点：1．偶函数；2．二次函数的单调性．【思路点晴】本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数，属于容易题．解题时首先要根据函数是偶函数得到1k，从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题．另外本题答案也可是0,．15．27.【解析】试题分析：函数f（x）满足(2)()7fxfx，则)2(7)(xfxf，)4(7)2(xfxf，所以)4()(xfxf，27)1(7)3()3426()107(ffff.考点：函数的周期性.16．1【解析】由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.17．（1）2,1ab奇函数（2）详见解析【解析】试题分析：将函数过的点代入函数式可得到,ab的值，判断奇偶性可判断fxfx，fxfx是否成立；（2）证明函数单调性一般采用定义法，在12xx的前提下证明12fxfx成立试题解析：（1）∵函数()fx的图像经过(1,3)、(2,3)两点∴3232abab，得2,1ab..∴函数解析式2()fxxx，定义域(00+，）（，）∵22()()()(x)fxxxfxx∴函数解析式2()fxxx是奇函数（2）设任意的1x、2x[2,)，且12xx12()()fxfx121222xxxx2121122()()xxxxxx21122()(1)xxxx1221122()xxxxxx∵122,2xx，且12xx∴122xx，则1220xx，且210xx得12()()0fxfx，即12()()fxfx∴函数()fx在区间[2,)上单调递增．考点：函数奇偶性单调性18．（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，所以f(0)＋f(1)＋f