微分方程应用题

微分方程应用题细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?(0)100(24)400dykydtyy分析：ktyCeln4ln2100,2412Ckln42412()1001002ttyte(12)200y(12)?y例1将室内一支读数为260的温度计放到室外。10min后，温度计的读数为300；又过了10min，读数为320．先不用计算，推测一下室外的温度。然后，利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案。()dTkTmdt(0)26T(10)30T(20)32T?m230322626mmmm34m分析：例2翻译；建立瞬时表达式；配备物理单位；叙述给定的条件；写出清楚的框架。净变化率＝输入率一输出率主要步骤某人的食量是2500cal／天，其中1200cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。分析：输入率=2500cal／天输出率=健身训练16cal/kg/天×体重w(kg)+新陈代谢1200cal／天013001610000(0)dwwdtww1625032532544twwe3254w例3在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明，C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，此人生活在多少年前?分析：08000(0)dppdypp80000yppe0?,0.0624ypp8000ln0.062422194y例4设p(t)表示一种给定物种在时刻t的总数，r(t,p)表示该物种出生率和死亡率之差。如果这个群体是孤立的．即不出现净迁出或迁入．那么总数的变化率dp/dt就等于r(t,p)p．在大多数简化了的模型中，假定r是常数，即它不随时间或总数而变。于是(),()dpaptaconstdt如果所给物种在t0时刻的总数p0，则p(t)满足初值问题00(),()dpaptptpdt这个初值问题的解是0()0()attptpe人口预测月数026l0观察到的P2520109计算出的P24.522109.1观察一种很小的啮齿动物，其繁殖速度为每月增长群体总数的40%，0.4(),(0)2dpptpdt0.42tpe啮齿动物的增长YearPopulationGrowthrate19502,555,360,9721.4719512,593,139,8571.6119522,635,192,9011.7119532,680,522,5291.7719542,728,486,4761.8719552,779,929,9401.8919562,832,880,7801.9519572,888,699,0421.9419582,945,196,4781.7619592,997,522,1001.3919603,039,585,5301.3319613,080,367,4741.8019623,136,451,4322.1919633,205,956,5652.1919643,277,024,7282.0819653,346,002,6752.0819663,416,184,9682.0219673,485,881,2922.0419683,557,690,6682.0819693,632,294,5222.0519703,707,475,8872.071950-1970年人口及增长率Population0.E+001.E+092.E+093.E+094.E+09Year19511953195519571959196119631965196719691950-1970年人口Growthrate0.001.002.003.00Year19511953195519571959196119631965196719691950-1970年增长率1961年地球上的人口总数为3.06×109而在以后的t年中。人口总数以每年2%的速度增长。这样0.0219619()3.0610tpte用过去的人口总数可以检验这个公式的结果。1700──1961年间的人口总数每35年就翻了一番，而方程预测每34.6年地球的人口总数将翻一番。预测25l0年：2,000,000亿；2635年：18,000,000亿；2670年：36,000,000亿。1961年人口预测19713,784,957,1622.0019723,861,537,2221.9519733,937,599,0351.9019744,013,016,3981.8119754,086,150,1931.7419764,157,827,6151.7219774,229,922,9431.6919784,301,953,6611.7319794,376,897,8721.7119804,452,584,5921.6919814,528,511,4581.7519824,608,410,6171.7519834,689,840,4211.6919844,769,886,8241.7019854,851,592,6221.7019864,934,892,9881.7319875,020,809,2151.7119885,107,404,1831.6819895,194,105,9121.6719905,281,653,8201.571971-1990年人口及增长率19915,365,480,2761.5519925,449,369,6361.4919935,531,014,6351.4419945,611,269,9831.4219955,691,759,2101.3819965,770,701,0201.3619975,849,885,3011.3219985,927,556,5291.2819996,004,170,0561.2520006,079,603,5711.2120016,153,801,9611.1820026,226,933,9181.1620036,299,763,4051.1520046,372,797,7421.141991-2004年人口及增长率Population0.E+002.E+094.E+096.E+098.E+09Year19541959196419691974197919841989199419991951-2004人口Growthrate0.001.002.003.00Year19541959196419691974197919841989199419991951-2004增长率YearPopulationGrowthrate19512,593,139,8571.6119562,832,880,7801.9519613,080,367,4741.8019663,416,184,9682.0219713,784,957,1622.0019764,157,827,6151.7219814,528,511,4581.7519864,934,892,9881.7319915,365,480,2761.5519965,770,701,0201.3620016,153,801,9611.18简化数据表YearPopulationGrowthrate19713,784,957,1622.0019814,528,511,4581.7519915,365,480,2761.5520016,153,801,9611.18Population0.E+002.E+094.E+096.E+098.E+09Year197119811991Growthrate0.001.002.003.00Year197119811991简化图像当群体异常地庞大时，个体成员相互间要为有限的生存空间、自然资源以及可以得到的食物而进行竞争。考虑改进的方程，其中b是一个常数。2dpapbpdt这个方程被称作群体增长的逻辑律，数字a、b称为群体的生命系数。逻辑律数学生物学家G．F．Gause对草履虫做了一个实验：把五只草履虫个体放入一个很小的试管中，管内盛有0.5cm3的培养基，每天计算一下个体的数量．共持续六天。结果发现，当数量不大时．这种草履虫以每天230.9%的速度增长。最初个体的数量迅速地增加，后来就比较慢了，到了第四天使达到375的最高水平，虫体占满了试管。从这个数据我们得出结论，如果草履虫依照逻辑律dp/dt＝ap-bp2增长，那么a＝2.309，b＝2.309/375；因此，逻辑律预测2.3092.3092.3095()52.309/52.30952.309/375375174ttptee草履虫实验2dpapbpdt002ptptdrdsarbr0020000111lnln1lnppppdrbdrarbrarabrabppapabpabppapabp000()00()()0000()()attattattapeapptabpbpebpabpe模型求解某些生态学家已经估算出a的正常值是0.029．我们还知道，当人口总数为(3.06)×109时，人类人口以每年2%的速率增长。因为(1/p)/(dp/dt)＝a-bp，我们看到0.02＝a-b(3.06)×109因此，b＝2．941×10-12．这样，根据群体增长的逻辑律．地球上的人类人口将趋于极限值9120.0299.86102.94110ab常数估算Population0.E+005.E+091.E+10Year195719651973198119891997200520132021202920372045预测人口Growthrate0.001.002.003.00Year19561963197019771984199119982005201220192026203320402047预测增长率证明对于0,/)ttabpabpt是正的。2、选择三个时间，且012,,ttt1021tttt证明根据可以唯一确定012(),(),()ptptpt,ab3、1879年1881年人们在新泽西用拖网捕获了大量周岁左右的欧洲鲈鱼。把它们装进水箱里用火车运送，穿过大陆，放入旧金山海湾养殖。经过这两次艰苦的旅行，活下的有条纹欧洲鲈鱼总共只剩下435尾。然而，到1899年，仅商业净捕获量就有1234000(lb)因为这种群体的增长这么快。有理由假设它服从马尔萨斯律；外假设一条欧洲鲈鱼的平均质量是3(lb)，并且1899年捕获整整十分之一的欧洲鲈鱼。求出a的一个下界。4、一群体按逻辑律增长，极限总数是5x108。个个体。当群体总数较少时，每40min翻一番。在下列每一种初值情况下，2h后群体总数将是多少。a)108b)1091、在阿拉斯加海湾附近生活着一种大马哈鱼，它们服从马尔萨斯的群体增长律dp/dt＝0.003p(t)．其小t以分钟度量。在t＝0时一群鲨鱼来到达些海域栖身并开始捕捉这里的大马哈鱼。鲨鱼吞食大马哈鱼的速度是0.001p2(t)，其中p(t)为t时刻大马哈鱼的总数，而且，由于不受欢迎的成员进入到它们的领域，每分钟有0.002条大马哈鱼离开阿拉斯加海域。a)修改马尔严斯的群体增长律使之将这两个因素包含进去。b)设t=0时有一百万条大马哈鱼。观察群体总数在t→∞时会发生什么情况?5、如果不考虑大量移民以及高杀人率，纽约城的人口将满足逻辑律（其中t以年度量）2611252510dpppdta)修改这个方程，使之包含：每年有6000人从该城市