高考试题的探究(一)：安徽--岳峻--圆锥曲线的内接直角三角形的探究

圆锥曲线的内接直角三角形的探究新课程高考数学试题，大多源于教材，即便是综合题也是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，充分体现教材的基础作用，因此，高三复习教学中，教师要紧扣教材，从多个角度精心挖掘教材例题、习题的潜能，使教材中的每一个例题、习题的作用发挥极致，以达到最佳的教学效果．人民教育出版社《全日制普通高中教科书（选修2--1）数学》第73页的第六题主要考查解析几何的基本思想和基本方法，看似平淡无奇，其实是一道呈现简洁、极富韵味的好题，值得我们细细品味．一、题目的再现直线2yx与抛物线22yx相交于,AB两点，求证：OAOB．解析设1122,,,AxyBxy，则222yxyx，消元得：2640xx，12126,4xxxx，1212224yyxx，所以12120OAOBxxyy，故OAOB．二、变换条件，领悟习题功能习题中的抛物线方程为22yx，其特征量22p，恰是直线l所过定点2,0M的横坐标2，这是不是蕴含着一种规律呢？思考1直线l与抛物线2:20Cypxp相交于异于顶点的两个动点,AB．若直线l经过点2,0Mp，求OAOB的值．解析显然，直线的斜率不为0，设直线为221212:2,,,,22yylxypAyBypp，则222xypypx，消元得：22240ypyp，212122,4yypyyp，所以2212121212022yyOAOBxxyyyypp，亦即OAOB．评注变换已知条件是拓展探究的常见的方式，是由特殊到一般，以合情推理的数学思想方法为基础，使用有目的性、规律性的原则进行引申与推广，使得一道题变为一类题，可以达到知一题会一类的功效．三、逆向探究，优化思维品质经过定点2,0Mp的直线l与抛物线2:20Cypxp相交于异于顶点的两个动点,AB，则0OAOB，那么它的逆命题的是否正确性呢？思考2直线l与抛物线2:20Cypxp相交于异于顶点的两个动点,AB．若0OAOB，求证：直线l必过定点；解析设221212,,,22yyAyBypp，因为0OAOB，所以221212022yyOAOByypp，即212124,0yypyy（舍），所以21222121222yypkyyyypp120yy，所以211122:2yplyxyyyp，整理，得：1212:2lyyypxyy，因为2124yyp，所以12:22lyyypxp，显然120yy也成立．故直线l必过定点2,0p．评注圆锥曲线的定点、定值问题是高考对重要考点考查的视角之一．通过对数学问题的逆向探究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力与素质．四、拓展探究，深化习题潜能通过探究，我们证明了一个结论：直线l与抛物线2:20Cypxp相交于异于顶点的两个动点,AB，则“直线l经过点2,0Mp”的充要条件是“0OAOB”．如果把直角顶点从原点0,0O移到抛物线上的任意一点，是否还有类似的结论呢？思考3点00,Qxy在曲线2:20Cypxp上，直线l与抛物线C相交于异于Q的两个动点,AB，若0QAQB，直线l过定点吗？探究设221212,,,22yyAyBypp，200,2yQyp因为0QAQB，所以22220012102002222yyyyQAQByyyypppp，即210204yyyyp，所以221201204yyyyyyp直线的方程依然是1212:2lyyypxyy，因为221201204yyyyyyp，2002ypx所以1200:22lyyyypxxp，显然120yy也成立．故直线l必过定点002,xpy．评注实际上，本题若直线l过定点002,xpy，也可证明0QAQB（略）．这样一来，我们得到一般性的结论：点00,Qxy在曲线2:20Cypxp上，直线l与抛物线C相交于异于Q的两个动点,AB，则“直线l经过点002,xpy”的充要条件是“0QAQB”．五、类比探究，促使能力呈现通过上面的探究，我们得到抛物线的内接直角三角形的斜边恒过定点的结论，那么，椭圆的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？双曲线的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？思考4（2015年马鞍山市二模（文））已知椭圆C的焦点是110,3,0,3FF，点P在椭圆C上，且124PFPF．（1）求椭圆的方程；（2）若A是椭圆的下顶点，过点A的两条相互垂直的直线分别交椭圆C与点,PQ（,PQ与A不重合）．试证明直线PQ经过定点．解析（1）椭圆的方程22:14yCx；（2）由（1）知0,2A，设1122,,,PxyQxy，显然直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ymxn，则2214ymxnyx，消元，得：2224240mxmnxn，2222224441640mnmnmn，且212122224,44mnnxxxxmm，22121222844,44nnmyyyymm，所以1122,2,2APAQxyxy12121222562404nnxxyyyym，故6,25nn（舍）即直线PQ经过定点60,5．思考5（2015年宿州市三模（文））已知椭圆2222:10xyCabab上的动点P到两个焦点的距离之和为6，且它到右焦点的距离的最小值为322．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆C交于,MN两点，A是椭圆的右顶点，0AMAN，试证明直线PQ经过定点．（解析略）评注一般的，可以证明：（1）设00,Pxy为椭圆2222:10xyCabab上的定点，AB为椭圆C的一条动弦，当PAPB时，弦AB所在直线必过定点2222002222,ababQxyabab．（2）设00,Pxy为椭圆2222:10yxCabab上的定点，AB为椭圆C的一条动弦，当PAPB时，弦AB所在直线必过定点2222002222,ababQxyabab．类比推理，对于双曲线有如下结论：（1）设00,Pxy为双曲线2222:10,0xyCabab上的定点，AB为双曲线C的一条动弦，当PAPB时，弦AB所在直线必过定点2222002222,ababQxyabab．（2）设00,Pxy为双曲线2222:10,0xyCabab上的定点，AB为双曲线C的一条动弦，当PAPB时，弦AB所在直线必过定点2222002222,ababQxyabab．当然，如果我们把圆视为椭圆的特例，圆的内接直角三角形的斜边必过定点即圆心．至此，圆锥曲线的内接直角三角形的斜边必过定点．六、结束语前苏联教育家维果斯基的最近发展区理论认为，教学决定着学生的智力发展，教学应当走在学生发展的前面，不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平．高考数学试题具有“源于教材，但高于教材；题在书外，但根在书里”的特点，因此，在高三的课堂教学活动中，教师势必需要时刻立足教材，对教材中有潜质的例题、习题进行挖掘，这是活用教材的体现，也是在学生思维水平“最近发展区”的教学，从而启迪学生的思维，开拓解题思路、解题能力，激活数学思维方法．