哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告16SD33223陈凯.1.实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式)()('1kkkkxfxfxx产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为)()('1kkkkxfxfrxx其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下functiony=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;实验报告16SD33223陈凯.2.%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while(R5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*f12(c)0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('inputinitialvaluex0');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while(abs(R)1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if(eval(subs(f,'x0','x'))1e-10);breakend实验报告16SD33223陈凯.3.ifkmax;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?','s');ifstrcmp(ss,'y')x0=input('inputinitialvaluex0');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程02sin2xx在[1，2]内的根。(610*5,下同)计算结果为x=1.40441513061523；f(x)=-3.797205105904311e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程013xx在[1，1.5]内的根。计算结果为x=1.32471847534180；f(x)=2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)01xxex0=0.5；计算结果为x=0.56714329040978；f(x)=2.220446049250313e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b)013xxx0=1；实验报告16SD33223陈凯.4.c)0)12()1(2xxx0=0.45,x0=0.65；当x0=0.45时，计算结果为x=0.49999999999983；f(x)=-8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x=0.50000000000000；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4.用改进的Newton法求解，有2重根，取20)12()1(2xxx0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改5.1时，结果收敛为x=0.50000087704286；f(x)=4.385198907621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x=1.00000000000489；f(x)=2.394337647718737e-023；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论：对于二分法，只要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。实验报告16SD33223陈凯.5.实验报告二题目：Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。前言：（目的和意义）1.学习Gauss消去法的原理。2.了解列主元的意义。3.确定什么时候系数阵要选主元数学原理：由于一般线性方程在使用Gauss消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若)1(kkka=0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。有的时候即使)1(kkka0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。这一技术要寻找行r，使得)1()1(max||kikkikrkaa并将第r行和第k行的元素进行交换，以使得当前的)1(kkka的数值比0要大的多。这种列主元的消去法的主要步骤如下：1.消元过程对k=1,2,…,n-1,进行如下步骤。1)选主元，记ikkirkaamax||若||rka很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。2)交换增广阵A的r，k两行的元素。kjrjaa(j=k,…,n+1)3)计算消元kkkjikijijaaaaa/(i=k+1,…,n;j=k+1,……,n+1)2.回代过程对k=n,n-1,…,1,进行如下计算实验报告16SD33223陈凯.6.)/(11,nkjkkjkjnkkaxaax至此，完成了整个方程组的求解。程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。Gauss消去法源程序：cleara=input('输入系数阵：\n')b=input('输入列阵b：\n')n=length(b);A=[ab]x=zeros(n,1);%%%函数主体fork=1:n-1;%%%是否进行主元选取ifabs(A(k,k))yipusilong;%事先给定的认为有必要选主元的小数yzhuyuan=1;elseyzhuyuan=0;endifyzhuyuan;%%%%选主元t=A(k,k);forr=k+1:n;ifabs(A(r,k))abs(t)p=r;elsep=k;endend%%%交换元素ifp~=k;forq=k:n+1;s=A(k,q);A(k,q)=A(p,q);A(p,q)=s;实验报告16SD33223陈凯.7.endendend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重ifabs(A(k,k))yipusilongdisp(‘矩阵奇异，解可能不正确’)end%%%%计算消元,得三角阵forr=k+1:n;m=A(r,k)/A(k,k);forq=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%%%%求解xx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);fork=n-1:-1:1;s=0;forr=k+1:n;s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A(k,n+1)-s)x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论：例：求解方程10342212357562zyx。其中为一小数，当201410510,10,10,10时，分别采用列主元和不列主元的Gauss消去法求解，并比较结果。记Emax为求出的解代入方程后的最大误差，按要求，计算结果如下：当510时，不选主元和选主元的计算结果如下，其中前一列为不选主元结果，后一列为选主元结果，下同。0.999999347683910.99999934782651实验报告16SD33223陈凯.8.2.000002174219722.000002173911632.999997608594512.99999760869721Emax=9.301857062382624e-010，0此时，由于不是很小，机器误差就不是很大，由Emax可以看出不选主元的计算结果精度还可以，因此此时可以考虑不选主元以减少计算量。当1010时，不选主元和选主元的计算结果如下1.000017846308770.999999999993481.999980097208072.000000000021743.000006634247312.99999999997609Emax=2.036758973744668e-005，0此时由Emax可以看出不选主元的计算精度就不好了，误差开始增大。当1410时，不选主元和选主元的计算结果如下1.421085471520201.000000000000001.666666666666662.000000000000003.11111111111111300000000000000Emax=0.70770085900503，0此时由Emax可以看出，不选主元的结果应该可以说是不正确了，这是由机器误差引起的。当2010时，不选主元和选主元的计算结果如下NaN1NaN2NaN3Emax=NaN,0不选主元时，程序报错：Warning:Dividebyzero.。这是因为机器计算的最小精度为10-15，所以此时的2010就认为是0，故出现了错误现象。而选主元时则没有这种现象，而且由Emax可以看出选主元时的结果应该是精确解。结论：采用Gauss消去法时，如果在消元时对角线上的元素始终较大（假如大于10-5），那么本方法不需要进行列主元计算，计算结果一般就可以达到要求，否则必须进行列主元这一步，以减少机器误差带来的影响，使方法得出的结果正确。实验报告16SD33223