时空分数阶导数算子

时空分数阶导数算子BORISBAEUMERMARKM.MEERSCHAERTJEFFMORTENSEN摘要不规则扩散的演化方程在空间和时间中使用分数阶导数。在时空间的变量的连接产生了新型的分数阶导数算子。本文讨论一些算子的数学基础。简介在经典扩散中，微粒以通常的钟型的模式传播，其宽度与时间的平方根相关。当生长率或粒子分布的形状经典模型预测不同时发生异常扩散。异常扩散在可以许多物理现象中观察到，并激励新的数学模型和物理模型的发展[5，6，7，13，16，20]。一些最成功的模型采用分数阶导数[21，27]，其实就是异常扩散中常见整数情况的衍生物。建立异常扩散的物理模型一种方法是源于全体粒子在随机过程中的极限分布。连续时间下的随机漫步[22，29]一直是最有用的[18，20，30]，其中每个随机粒子跳跃后会有随机的等待时间。非常大的颗粒的跳跃与空间分数阶导数[14]有关，而很长的等待时间会产生时间的分数阶导数[18，26]。同样的模型方程也被应用到混沌动力学[31]和经济学28]。在连续时间的随机漫步中，颗粒跳跃的大小可以取决于在跳跃之间的等待时间。对于这些模型，颗粒的极限分布受控于涉及时空分数阶导数算子的分数阶微分方程[3,19]。本文建立了这些算子的数学基础。尤其是，它们被证明是某些连续卷积半群的生成元，并且它们的域表现为一个合适的函数空间，其中的乘法的运算在傅立叶拉普拉斯空间的产物。普通空时算子的一般形式被给出。在这方面的发展中所使用的技术手段是算子半群[1，11，23]，和算子稳定的概率分布的理论[12，15]。分数阶导数和异常扩散让(,)Cct表示粒子在位置x处和时间t时的相对浓度。经典扩散方程212txCC可以使用傅立叶变换(,)(,)ikxckteCxtdx求解，这把扩散方程转化为一个常微分方程的21/()2dcdtikc。初始条件(,0)1ck相当于(,0)()Cxx，所以所有的颗粒都从0,0xt开始。其解21(,)exp()2cktkt反转得到均值为0标准差为t的概率密度。使用中心极限定理，也就得到粒子随机漫步的极限密度在跳跃代表0和方差之一时会跳跃。如果颗粒跳跃的概率分布有随指数(02)定期对变更的尾部（粗略地讲，这意味着该跳跃的距离大于r的概率下降到r），则方差无定义，所以经典的中心极限定理不适用。一个推广的中心极限定理[8，9，15]表明随机漫步收敛到一个稳定的Levy运动其概率密度(,)Cxt经过傅里叶变换(,)exp()cxtkt，显然是1/2dcdtkc，(,0)1ck解。反转表明粒子浓度解决了分数阶偏微分方程12txCC其中对称分数微分算子x对应傅立叶空间以k为符号乘法。这是一般的二阶导数算子的分数幂。非对称粒子跳跃形成一个更一般形式的以()()pikqik为符号的分数阶导数算子xxpq[7,4]，当1pq为跳跃幅度趋向于无穷的正跳跃的渐近分数。对于对称向量转移的一个类似的讨论我们可以对/2txCC使用以k为符号的拉普拉斯算子，可在dR中见到更普遍的形式[14，16]。这些拟微分算子也是某些连续卷积半群的生成元[2,11]。如果粒子跳跃间的等待时间以指数0β1定期复合，则随机漫步粒子的跳跃（称为连续时间随机漫步）收敛到一个服从于逆β-稳定从属的Levy运动[17，18]。假定等待时间和随后的粒子跳跃是独立的，其从属是独立的Levy过程，并控制方程成为(,0)/(1)txCCCxt，它是由Zaslavsky[31]作为一种哈密顿混乱模型首次提出的。非对称跳跃，或矢量转移，其改变空间导数方式如前[2]。重尾粒子跳跃产生空间的分数阶导数，重尾等候时间产生时间的分数阶导数。当等待时间和粒子跳跃依赖随机变量，控制方程的另一种形式便出现了。该极限过程是仍然一个从属于平稳的从属的Levy运动，但现在这两个过程相互依赖。时空向量组成的等待时间和跳转必须使用算子稳定极限理论来处理，因为每个坐标不同的尾部行为[3]。这导致了控制方程采用一种新的耦合时空分数阶导数。假设等待时间J满足()PJtt并且对称粒子的跳跃幅度Y在等待时间Jt时是均值为0方差为2t的正常分布。那么，控制方程2()(,)(,0)/(1)txCxtCxt采用了时空分数阶导数与傅立叶拉普拉斯符号2()sk。本文的目的是探讨这些算子的性质，以建立分析这些方程的数学基础。让这个问题有趣的是，由于空间和时间有密不可分的关系，不能用通常的方式，即泛函空间中的常微分方程来看待这些发展方程。时空分数阶导数设[0,)¡，并假设(,)vdxdt是一个概率分布，并在d　傅立叶变换拉普拉斯变换为^(,)(,)dixkstRRvkseevdtdx。令nvvv表示v对自身n次的卷积。如果对于每个1,2,3,...n存在概率分布nv且满足nnvv我们就说v是无穷可分的。其Levy表示（例如，见引理[3]的2.1）说明v是无穷可分的当且仅当对于一些独特连续函数:d　?我们可以得到^(,)exp((,))vkskx。例如：(0,0)0,()0。且有(3.1)2\{(0,0)}1(,)(1)(,)21dixkstikxksikabskAkeedxdtx　对于一些特殊的定点(,)dab　，一些dd的非负定矩阵A，和\{(0,0)}d　上的正测度，在远离原点的有界域上有界并满足(3.2)2201()(,)xtxtdxdt该测度称为v的Levy测度，并且[(,),,]abA被称为v的levy表示。在这种情况下，我们定义（可能是小数）卷积幂nv在Levy表示为三元组[,,]uauAu下的无穷可分律，因此对于任意0u，nv具有特征函数exp((,))uks。且对任意,0uv有*uvuvvvv。无穷可分分布可以用来定义半群卷积。令1()dL　表示可测函数集，其积分和范数0:(,)dtRfeftxdxdt存在。我们称此范数为1L范数，且1()dL　是巴拿赫空间。除非明确说明，将被看作是一个正实数。显然，11()()ddLL　　是真包含，除非0时，两个函数空间是相同的。此外，若1()dfL　，则有1ff。在巴拿赫空间X上的一族有界线性算子{():0}Ttt如果有(0)T是单位算子且对所有,0uv有()()()TuvTuTv，则被称为X的有界线性算子半群。如果()TufMf对所有的,0fXu成立，则称半群是一致有界的;如果在这种情况下，1M我们就称之为收缩半群。如果当nuu时，()nTuff在X上对于所有fX成立，这个半群就是强连续的。我们可以轻易检验如果当0u时，()Tuff对所有fX成立那么{():0}Tuu是强连续的。如果0f可以推出对所有0u有()0Tuf，则称这个半群在巴拿赫格是正的。一个强连续的收缩正半群被称作Feller半群。下面的结果说明在d　上的任一无穷可分律定义了一个1()dL　上的Feller半群。命题3.1令v是d　上一个无穷可分律并定义(3.3)0()(,)(,)(,)dtuRTufxtfxytsvdyds对所有的1(),0dfLu　都成立。那么对于所有的1()dfL　，这族线性算子0{()}uTu有如下性质。（a）()()()TuvfTuTvf,,0uv（b）(0)Tff（c）0f可推出对所有0u有()0Tuf（d）()Tuff，0u（e）0lim()0uTuff证明。性质（a）（b）（c）可由v无穷可分的定义直接得到。性质（d）可由费比尼定理得到：00()(,)(,)ddttuRTufefxytsvdydsdxdt¡0(,)(,)ddtusRefxytsvdyds¡f性质（e）相较来说会更巧妙一些。我们首先证明（e）在矩形中建立了一个指示函数。;即，令(,)(,)((,))QfxtIxtIxtQ，矩形为00{(,):,,1,...,}diiiQxtatbaxbid　。那么就有(3.4)000()(,)(,)(,)dddtuTufxtdxdtfxytsvdydsdxdt　?0(,)(,)duysQdxdtvdyds¡0()iiidba，0u由于v是无穷可分的，当0u时我们有0uvv(例，见[15]的推论3.1.4），这意味着()()uvBvB使得所有波尔子集dB　有0()0vB。由于0v点质量为零，这种情况发生当且仅当(0,0)B。那么对于所有的(,)dxt　，,iiixab，1,...,id且00,tab，我们得到000lim()(,)lim((,))((,))(,)uuuTufxtvxtQvxtQfxt因此，通过控制收敛原理，0()(,)(,)((,))((,))0uQQTufxtfxtdxdtvxtQvxtQdxdt因此，0()()(,)()iiidQTufxdxdtfxtdxdtba，由（3.4）式，可得(,)(,)()(,)(,)()(,)0xtQxtQTufxtfxtdxdtTufxtdxdt，由此可知，()(,)(,)0Tufxtfxtdxdt于是对于这样的f用1L范数取代了1L范数（e）成立。又因为对任意指示函数1()dfL　都有1ff，这便轻易得到了当任意1jniQjfI在1L范数下（e）成立。现在对于任意1()dfL　建立(,)(,)thxtefxt。显然1()dhL　并且因此我们可以对积分(,)hxtdxdt进行黎曼近似得到jnjQgI且11nghn。然后令(,)(,)tnngxtegxt，它可以得到11nnfghgn。利用三角不等式，得到()()()()nnnnTuffTufTugTugggf应用命题的性质（d）1()()nnTufTugfgn因此得到(3.5)11()()nnTuffnTuggn建立性质（e）唯一决定于证明(3.6)0lim()0nnuTugg，n。如果我们取0，就有所有的范数在不等式(3.5)和(3.6)中与1L范数相等且ng时指示函数。现在令0，在这种情况下ng是一个1L函数而且由于我们刚刚证实了性质（e）对于1L函数是成立的，于是(3.6)式成立因此我们证实了对于1L函数性质（e）也成立。对于任一强连续半群{():0}Tuu在巴拿赫空间X上我们定义生成元(3.7)0()limuTuffLfinXu意味着在巴拿赫空间范数下1(())0uTuffLf。线性算子的域()DL是所有满足(3.7)中限制的fX。而且()DL在X中是稠密的，并且L是闭的，这就说明如果nff并在X上有nLfg，则(),fDLLfg（例见[23]I.2.5）。在下面的定理中，我们把如方程（3.3）所定义的半群的算子特征化。对于任何1dgL　，其傅立叶拉普拉斯变换^(,):(,)dikxstgkseegxtdtdx　对于所有的dk¡以及s均有定义。定理3.2.假设T按照情况3.1.中方程（3.3）定义并且令1()dXL　。设L是强连续半群的生成元。那么对所有的()fDL都有^^(,)(,)(,)Lfksksfks，其中(,)ks由（3.1）式给出并且^^(){:(,)(,)(,)}DLfXksfkshks