浅析新课标下数学思想方法与数学解题

浅析新课标下数学思想方法与数学解题邛崃市第二中学校郑学兵摘要：数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题，直至解决问题的全过程思维过程．数学思想方法与解决数学问题的关系十分密切，它是数学解题的指南，在解题过程中监控思维的整个过程，而数学思想方法的形成，又离不开数学解题实践。学生一旦掌握了数学思想方法对解题的思维监控，数学解题能力就会有长足的进步．关键词：数学思想；解题；思维定向；思维控制；思维调节数学家波利亚认为：数学解题就是命题的连续变换，而命题的连续变换就是数学思想方法反复运用的过程．数学思想方法作为思维监控结构的重要组成部分，作用于数学解题的思维过程．促使解题者对数学问题的各种信息和方案作出直觉的评估和认定，从而确定解题的思路和方向。并伴随着整个解题过程，随时获取新信息，并对已确定了的解题思路和方向作出评价，进而调节和控制解题的思维过程．思维监控以数学解题过程中的思维本身为对象，它的主要功能能如下：一、思维定向：思维定向是数学思想方法对解题方向的监控，在数学解题的起始阶段，常常在审题后产生一些基本的判断，思考沿什么方向进行，其成功的可能性有多大？所猜想问题的正确程度如何？这些都是对解题方向实施的监控．例1、设函数()fx定义在R上，对任意函数,xyR，都有()()2()()fxyfxyfxfy，且存在正数c，使()02cf，（1）求证：对任意xR，有()()fxcfx；（2）()fx是否是周期函数？若是，求出其一个周期，若不是，说明理由．解：（1）采用特殊化原则给y以具体的值2c，则()()2()()0222cccfxfxfxf，得()()22ccfxfx，()[()][()]()2222ccccfxcfxfxfx，∴对任意xR，()()fxcfx．（2）分析中存在两个完全相反的思考方向：“是”或“非”，究竟沿着那个方向思考成功的可能性较大？数学思想方法作为思维监控结构，就在此时发挥了思维定向的作用．()()2()()fxyfxyfxfy，是对一般函数()fx成立的关系式，由特殊化原则联想到具体的函数()cosfxx，运用余弦函数和差角公式化简可得：cos()cos()coscossinsincoscossinsin2coscosxyxyxyxyxyxyxy又由于cos()cosxx可看作在（1）中取c的情况，因此余弦函数()cosfxx就是题设中一个特殊化的模型．∵cos(2)cos()xxxR，∴()fx可能是周期函数，且周期可能为2c．对一切xR，有(2)[()]()[()]()fxcfxccfxcfxfx，因此()fx是周期函数，且2c是它的一个周期．上述（2）的解释从余弦这个特殊函数转化为抽象函数()fx得到的，它的解题思路正是转化与化归、一般与特殊这两个数学思想方法的体现．解题过程中，思想方法的思维监控机制来源于大脑的思维实践，植根于解题经验的积累，从而产生对解题思维方向可靠性的直觉估计和判断．当然，这种估计和判断也可能不正确，思维监控作用可能失效，导致在解题深入过程中作必要的补充、调整与改进，在思想方法系统的思维监控下，进一步进行思维控制．二、思维控制思维控制就是通过掌握思维进程、支配思维走向看，使得思维活动不超出解决问题的一定范围．数学思想方法系统控制思维活动的进展，实施对思维的自我激励、自我估价、自我排扰以达到自我控制．1、正确思维活动的自我激励当数学思想方法系统判定某种解题方案可行、思维目标恰当、策略适宜时，就会调动一切思维储存，为克服解题中的障碍提供支持．从而就会激活相关知识，联想到解决类似问题时的方法和技能，促成思想的高度集中于思绪的流畅少阻．例2、求证：抛物线213(3)2(0)22yaxaxaa恒过两个定点．解析：若“死盯住”抛物线过两个定点，则道路非常崎岖曲折，转换思路如何？因为0a，则a可以使一切非零实数，将a看成未知数，化的关于a的方程213(32)()022xxaxy(0)a，此方程有无穷多节，则化生为熟，化曲为直．令232013022xxy，解得11xy或212xy．故抛物线恒过定点(1,1)和1(2,)2．解决问题过程中，成功地类比利用经过两直线交点的直线系方程，得到经过两曲线交点的曲线系方程．2、当前思维进展的自我估价数学思想方法系统对既定解题方案的思维进展情况，保持相当程度的关注．如实施解题方案的中间成果是接近还是偏离了思维目标，甚至背道而驰？所取得进展对问题的最后解决是具有关键性意义还是微不足道？数学思想方法系统在思维监控中，对不同的估价作出不同的反应：若中间成果背离目标，则思维活动将受到抑制；若中间成果稍许偏离目标，则对思维活动进行纠正；若此中间成果朝着解题目标趋进，则加速思维的进程．3、对解题进程中的各种干扰和失误发出警报，并自我排除数学思想方法系统在监控思维进程时，能够尽力排除对实现解题目标的干扰，删除思维进程中多余或错误信息，从而提高思维活动的趋向性．三、思维调节思维调节就是数学思想方法系统对思维策略的监控作用，各种不同的数学问题，往往需要采用不同的思维策略．元认知的知识（“元认知”是对认知活动的认知）可以帮助我们选择适当的思维策略；思维进程的顺利进展，有助于肯定原来的思维策略；思维过程中的困惑或失败的体验，可以促使我们修改原来的策略．1、适当思维策略的选择适当思维策略的选择，往往实在元认知知识的启发与元认知体验的刺激下，由思想方法实行思维监控的结果．由于数学问题自身的复杂性，在思维策略的选择上，有时并不仅以中间步骤离思维目标远近为尺度，这个监控过程必须随时考虑总体效果．2、思维策略的调节数学思想放在在监控过程中对思维策略的调节，是思维活动不可缺少的重要组成部分，往往具有决定解题成功与否的作用．例3、求数列101101，，，，，，…的一个通项公式．解：这是一个周期数列，它可以看做是定义在自然数集合N或其有限子集{1,2,3,,}n……上的函数，由于数列的周期为3，选择以3为周期的正弦型函数2sin3yx．这是思维由抽象的解题策略到具体的函数表达式的过程．但(1)f23sin32与||1ka或0，结果与目标不相符，因而由转化的思想把策略调节为选择22()sin33yxx，此时(1)1与11a又有差异，于是进一步转化为22sin(2)33yx．在函数思想监控下，进行思维策略的调节，可得到数列的一个通项公式为22sin(2)33nan．同理可得到1tan(2)33nan也是其通项公式．数学思想方法在解题过程中的思维监控作用，将提高解题中思维活动的自觉性，目的性与自我调节能力；减少思维误入歧途的可能性；从而提高数学解题中思维活动的水平，大大加快解题进程，提高解题正确率．总之，数学问题所用的数学方法和数学思想是什么，哪一步是解题关键，哪一步学生容易犯错误，引导学生积极思考，讲求思想方法的严谨性、科学性，使学生真正领悟，培养学生的求异思维和发散思维能力，则必将提高学生的解题能力，激发学生的学习情趣，培养学生的创造力．参考文献1．王培德：《数学思想应用及探究——建构教学》，人民教育出版社，2003年8月第一版，第33页2．赵波：《转化是解题的利器》，《数学通讯（上半月）》，2012年第5、6期第28页