时间序列建模培训

时间序列建模培训背景及引例平稳序列平稳序列建模（结合例子来讲）非平稳序列处理方法时间序列建模的Matlab实现（例子）自主练习概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域：金融经济气象水文信号处理机械振动…………一背景及引例时间序列的定义时间序列:按时间次序排列的随机变量序列个观测样本:随机序列的个有序观测值称序列是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道)1.1(,,21XX)2.1(,,,21nxxxnn)3.1(,,21xx按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。太阳黑子对地球的影响会出现磁暴现象会引起地球上气候的变化会影响地球上的地震会影响树木生长会影响到我们的身体………………………Wolfer记录的300年的太阳黑子数房地产业、房价关乎国计民生的支柱产业影响着城镇居民的住房消费影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关行业的发展影响着地方政府财政收入…………………………….杭州近三年房价走势股市是经济的晴雨表从股市本身看，我国股市的确有自己的特点股票是一种高风险的资本投资………………………………1985至2000年广州月平均气温国际航空公司月旅客数050100150100200300400500600700化学反应过程中溶液浓度数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5二、平稳序列自协方差函数的性质自相关系数白噪声、白噪声模拟Poisson白噪声的60样本的产生1.随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2.给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3.给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,…,61上的取值；参数为1的Poisson白噪声的60个样本I0102030405060-1-0.500.511.522.533.54样本II0102030405060-1-0.500.511.52例：布朗运动标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60)；plot(A)在经济工作中我们遇到的时间序列通常未必是平稳的，那么如何检验与鉴别呢？首先我们从图形上直观地理解一下平稳性与非平稳性：例某市1985-1994年各月的工业产值：a=[10.93,9.34,11,10.98,11.29,11.84,10.62,10.9,12.77,12.15,12.24,12.3,9.91,10.24,10.41,10.47,11.51,12.45,11.32,11.73,12.61,13.04,13.14,14.15,10.85,10.3,12.74,12.73,13.08,14.27,13.18,13.75,14.42,13.95,14.53,14.91,12.94,11.43,14.36,14.57,14.25,15.86,15.18,15.94,16.54,16.9,16.88,18.1,13.7,10.88,15.79,16.36,17.22,17.75,16.62,16.96,17.69,16.4,17.51,19.73,13.73,12.85,15.68,16.79,17.59,18.51,16.8,17.27,20.83,19.18,21.4,23.76,15.73,13.14,17.24,17.93,18.82,19.12,17.7,19.87,21.17,21.44,22.14,22.45,17.88,16,20.29,21.03,21.78,22.51,21.55,22.01,22.68,23.02,24.55,24.67,19.61,17.15,22.46,23.19,23.40,26.26,22.91,24.03,23.94,24.12,25.87,28.25];作出其原始数据图形与一阶差分后的图形解：c=a';b=c(:);plot(b)02040608010012051015202530原始数据原始数据图从图1.2可以发现该时间序列具有以下特征：随着时间的推移，有逐渐增大的趋势；具有一定的周期性；当然还有随机性。这是非平稳时间序列.在时间序列建模的方法中很多都是对平稳序列作出的，因此对于非平稳时间序列常常先将其化为平稳序列，差分就是最常用的一种方法，对于图1.2中的数据我们利用一次差分得到的数据图形如图1.3所示：020406080100120-10-50510一阶差分图1-3经过一阶差分处理后的图注意：①时间趋势可以通过差分解决，因为多项式差分一次，其阶数就降低一次；②指数趋势可以通过先取对数，然后再差分。例如：yt=e2t，取对数变为lnyt=2t，再做一次差分得lnyt+1-lnyt=2(t+1-t)=2此时为常数故平稳三平稳时间序列建模1.常见的三类时间序列模型(1)P阶自回归模型：AR(p)t1t12t2ptptxxxxtt1t12t2qtqx其中t是白噪声序列.其中t是白噪声序列，且与xk不相关（kt）(2)q阶移动平均模型：MA(q)(3)自回归移动平均模型:ARMA(p,q)1122ttptpxxxtt1t12t2qtqx注意：①AR(p),MA(q)都是ARMA(p,q)的特例，即AR(p)=RAMA(p,0),MA(q)=RAMA(0,q)②ARMA(p,q)模型其平稳性条件与AR(p)模型相同；可逆性条件与MA(q)一样.③AR(p)可逆，未必平稳，MA(q)平稳，未必可逆2.三种模型的判别标准(1)自相关函数(autocorrelationfunction,ACF)对于任意的t,s，则称Xt，Xs的相关系数,,,,ˆ/tststtss为时间序列{Xt}的自协方差函数.,(,)[()()]tststtssCovXXEXEXXEX其中Matlab计算自相关函数、以及作图的名令如下：autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)%作自相关图形ACF=autocorr(Series,nLags,M,nSTDs)(2)偏相关函数如果将上面的命令中，auto改为par，则可以计算样本的偏相关函数，并作图。(3)三种模型的判别标准对于实际问题，区别上述几种时间序列依据自相关与偏相关函数确定类别AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏相关函数截尾拖尾拖尾时间序列建模主要有以下三个步骤：模型识别、参数估计、模型检验1.模型识别首先计算自相关、偏相关函数，以此初步选择模型，并估计模型的阶数：例1.6某市1985-1994年各月的工业产值如例1.2所示，对该时间序列进行模型识别解：该数据的图形如下，由于是月度数据，所以存在周期性，首先进行季节差分得到平稳序列，然后计算自相关、偏相关函数并做出图形，可知应选择AR(2)模型。自相关与偏相关作图程序：a=[10.93,9.34,11,10.98,11.29,11.84,10.62,10.9,12.77,12.15,12.24,12.3,9.91,10.24,10.41,10.47,11.51,12.45,11.32,11.73,12.61,13.04,13.14,14.15,10.85,10.3,12.74,12.73,13.08,14.27,13.18,13.75,14.42,13.95,14.53,14.91,12.94,11.43,14.36,14.57,14.25,15.86,15.18,15.94,16.54,16.9,16.88,18.1,13.7,10.88,15.79,16.36,17.22,17.75,16.62,16.96,17.69,16.4,17.51,19.73,13.73,12.85,15.68,16.79,17.59,18.51,16.8,17.27,20.83,19.18,21.4,23.76,15.73,13.14,17.24,17.93,18.82,19.12,17.7,19.87,21.17,21.44,22.14,22.45,17.88,16,20.29,21.03,21.78,22.51,21.55,22.01,22.68,23.02,24.55,24.67,19.61,17.15,22.46,23.19,23.40,26.26,22.91,24.03,23.94,24.12,25.87,28.25];b1=diff(a);%季节差分b2=b1';%转置b3=b2(:);%将矩阵变成序列b=zscore(b3);%标准化数据subplot(211),autocorr(b)%自相关函数图形subplot(212),parcorr(b)%偏相关函数图形0102030405060708090100-0.500.51LagSampleAutocorrelationSampleAutocorrelationFunction(ACF)0102030405060708090100-2024LagSamplePartialAutocorrelationsSamplePartialAutocorrelationFunction图2-1自相关、偏相关图显然，自相关函数拖尾，偏相关函数2步截尾。2.模型的参数估计ARMA(p,q)模型共有p+q+1个参数需要估计，通常有最小二乘法和极大似然估计法。3.模型阶数的确定①AR(p)或MA(q)根据时间序列数据，计算自相关与偏相关系数的截尾性，从而确定初步阶数检验自相关是否截尾，考察kq时q2kii11T12ˆˆ/()是否检验偏相关是否截尾，考察kp时kk21Tˆ/是否其中T是时间序列的长度（建模数据的个数）②ARMA(p,q)由于ARMA模型的自相关、偏相关系数均不截尾，不能用上述方法，所以采用以下准则：AIC准则（赤池准则），SIC准则AIC准则（赤池准则）2AICpqpq2(p+q)Tˆ(,)ln(,)/T2t2t1pqTpqˆˆ(,)其中00pqAICpqAICpq,(,)min(,)在MATLAB中有如下命令：am=aic(Model1,Model2,...)SIC准则：T2tt1SICnTnTTˆ()ln|/|ln/其中n是参数的个数，为残差。4.模型的检验通常有异方差检验、残差自相关检验、正态性检验模型检验的目的是检验残差序列是否为白噪声四非平稳序列处理方法(2)作对数差分（先取自然对数，再求差分）(3)对于长记忆时间序列做分数差分常见模型为：ARIMA(p,d,q),d为正整数ARFIMA(p,d,q),d为正分数(1)作差分（或季节差分）例、化学溶液浓度变化数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5020406080100120140160180200-1-0.500.511.5例、Canadianlynxdata（猞猁）例五、沪深1209（股指期货）0204060801001201401602200230024002500260027002800050100150-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.03)(log)1(log)(tXtXtY例、国际航空公司的月客数050100150100200300400500600700y2=log(y1);plot(y2);0501001504.64.855.25.45.65.866.26.46.6y3=diff(y2);y=y3(13:143)-y3(1:131);020406080100120140-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15数据处理后的图五时间序列分析的MATLAB实现1.①AR(p)模型参数估计的最小二乘法在Matlab中实现自回归模型参数估计方法