浅议中学物理中的共轭现象

浅议中学物理中的共轭现象资料来源：中国京翰教育中学物理极值问题中，一个物理量(设为y)能取得极大值或极小值，与之相关的另一物理量(设为x)不断增大时，能取极值的物理量y是另一物理量x的非单调性函数。当物理量y等于除极值以外的某一值时，物理量x可取两个不同的值与之相对应，当这两个不同的值之和或之积为定值时，这种现象称为共轭现象。本文以例题的形式说明共轭现象可在力学、电磁学、光学等学科中普遍存在。一、力学中的共轭现象[例1]在光滑水平面上有质量分别为m1、m2的两个小球A和B。两球心间的距离不大于l时，存在相互作用的恒定斥力；两球球心间的距离大于l时，两球无相互作用。现在让两球心间的距离等于l，并给A球以初速v0正对原来静止的B小球运动，并假定两小球不相碰，如图1所示。试证明：在两球相互作用过程中，两球球心之间的距离等于某一值的时刻有两个，且A球与B球在这两个不同时刻的速度之和相等，都等于同一定值。(图1)(图2)解析：设两球间的恒定作用力为F，A球作匀减速直线运动，B球作匀加速直线运动，则对A球有：s1=v0t-①对B球有：s2=②设两球心间的距离为△s，则由△s=l+s2-s1得：△s=-v0t+l③③式中，△s是t的两次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为t=，△s存在极小值△smin，如图2所示。当△s在△smin＜△s≤l的范围内取某一值时，有两个时刻与之相对应，图2中M、N两点关于抛物线的对称轴对称，则有：t1+t2=2设A球和B球在这两个不同时刻速度分别为v1、v和v2、v。由匀变速运动的速度公式可得：v1+v=v0-+v0-=2v0-=v2+v=+==所以：v1+v=v2+v=二、电磁学中的共轭现象[例2]如图3所示，当外电阻分别是4欧和1欧，单位时间内外电路上放出的热量相等，则此电源的内电阻是()A、1.5欧B、2欧C、2.5欧D、4欧解析：设电源电动势为ε，内电阻为r。由P=I2R和P1=P2得：将此式化简得：r=，所以得到：r=2欧，答案为(B)。r=是一个极为重要的关系式，它的物理意义为：一个内阻为r的电源，分别向两个电阻供电，当输出功率相等时，其内阻等于两电阻的几何平均值。从r=可得R1R2=r2，即当输出功率相等时，两电阻的乘积为定值。[例3]把一个“10V，2.0W”的用电器A(纯电阻)接到某一电动势和内阻都不变的电源上，用电器A实际功率是2.0W；换上另一个“10V，5.0W”的用电器B(纯电阻)接到这一电源上，用电器B实际消耗的功率有没有可能小于2.0W？你如果认为不可能，试说明理由。如果认为可能，试求出用电器B实际消耗的功率小于2.0W的条件。(设电阻不随温度变化)解析：由P=得用电器A和B的电阻分别为：RA==50Ω，RB==20Ω。设电源电动势为ε，内电阻为r，则当电源的输出功率相等时，有：r0==10Ω又由PA=PB=2.0W可得=PA得：ε=(RB+r0)=(10+2)V。所以：当电源内阻r＞10Ω，电动势ε＜(10+2)V时，B灯的实际功率就小于2.0W。此题的求解过程中应用了例2中得到的关系式，其实当电源电动势和内电阻一定时，当外电阻为某一确定值时，电源有最大输出功率，此值可由下式示得：P==当R=r时，电源有最大输出功率Pmax=。函数P=的P-R图线如图4所示，从图4中也可看出，除功率的极大值以外的每一个功率值，都有两个电阻值和它相对应，其中一个电阻值大于内电阻，另一个电阻值小于内电阻三、光学中的共轭现象[例4]如图5所示，AB为物体，MN为光屏，L为凸透镜。凸透镜的焦距为f，物体和光屏间的距离为l。试证明：(1)成实像时物像间距的最小值为4f。(2)固定AB和MN，移动凸透镜要在屏上成两次实像，必须满足l＞4f。(3)凸透镜成两次实像时，两次物距之和为定值，两次像距之和为定值。(4)两次成像的放大率之积为1，即m1m2=1。解析：(1)凸透镜成实像时，设物距为u，像距为l-u，则由凸透镜成像公式可得：，整理得一元两次方程：u2-lu+fl=0。则△=l2-4fl≥0，l≥4f，所以：lmin=4f。(2)从(1)可得，要成两次实像，方程u2-lu+fl=0要有两个实数根，则△＞0，所以必须要满足的条件为：l＞4f。(3)方程u2-lu+fl=0的两个实数根为：u1=u2=则两次物距之和：u1+u2=l，由光路可逆：像距v1=u2，v2=u1，所以v1+v2=u1+u2=l(4)由光路可逆；像距v1=u2，v2=u1，而m1=，m2=，由前面四式可得：m1m2=1。当然也可由u1=，u2=代入v1=l-u1得v1=。同理得：v2=。再把物距和像距代入m1m2，得m1m2=1，这样比较繁琐。A、1.5欧B、2欧C、2.5欧D、4欧解析：设电源电动势为ε，内电阻为r。由P=I2R和P1=P2得：将此式化简得：r=，所以得到：r=2欧，答案为(B)。r=是一个极为重要的关系式，它的物理意义为：一个内阻为r的电源，分别向两个电阻供电，当输出功率相等时，其内阻等于两电阻的几何平均值。从r=可得R1R2=r2，即当输出功率相等时，两电阻的乘积为定值。[例3]把一个“10V，2.0W”的用电器A(纯电阻)接到某一电动势和内阻都不变的电源上，用电器A实际功率是2.0W；换上另一个“10V，5.0W”的用电器B(纯电阻)接到这一电源上，用电器B实际消耗的功率有没有可能小于2.0W？你如果认为不可能，试说明理由。如果认为可能，试求出用电器B实际消耗的功率小于2.0W的条件。(设电阻不随温度变化)解析：由P=得用电器A和B的电阻分别为：RA==50Ω，RB==20Ω。设电源电动势为ε，内电阻为r，则当电源的输出功率相等时，有：r0==10Ω又由PA=PB=2.0W可得=PA得：ε=(RB+r0)=(10+2)V。所以：当电源内阻r＞10Ω，电动势ε＜(10+2)V时，B灯的实际功率就小于2.0W。此题的求解过程中应用了例2中得到的关系式，其实当电源电动势和内电阻一定时，当外电阻为某一确定值时，电源有最大输出功率，此值可由下式示得：P==当R=r时，电源有最大输出功率Pmax=。函数P=的P-R图线如图4所示，从图4中也可看出，除功率的极大值以外的每一个功率值，都有两个电阻值和它相对应，其中一个电阻值大于内电阻，另一个电阻值小于内电阻三、光学中的共轭现象[例4]如图5所示，AB为物体，MN为光屏，L为凸透镜。凸透镜的焦距为f，物体和光屏间的距离为l。试证明：(1)成实像时物像间距的最小值为4f。(2)固定AB和MN，移动凸透镜要在屏上成两次实像，必须满足l＞4f。(3)凸透镜成两次实像时，两次物距之和为定值，两次像距之和为定值。(4)两次成像的放大率之积为1，即m1m2=1。解析：(1)凸透镜成实像时，设物距为u，像距为l-u，则由凸透镜成像公式可得：，整理得一元两次方程：u2-lu+fl=0。则△=l2-4fl≥0，l≥4f，所以：lmin=4f。(2)从(1)可得，要成两次实像，方程u2-lu+fl=0要有两个实数根，则△＞0，所以必须要满足的条件为：l＞4f。(3)方程u2-lu+fl=0的两个实数根为：u1=u2=则两次物距之和：u1+u2=l，由光路可逆：像距v1=u2，v2=u1，所以v1+v2=u1+u2=l(4)由光路可逆；像距v1=u2，v2=u1，而m1=，m2=，由前面四式可得：m1m2=1。当然也可由u1=，u2=代入v1=l-u1得v1=。同理得：v2=。再把物距和像距代入m1m2，得m1m2=1，这样比较繁琐。