浅谈一元二次方程根的分布处理方法

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中就有所涉及，是利用二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）解决的。进入高中之后，我们学习了方程的根与函数零点的关系，处理上述问题，又有了第二种处理方法。但是我在教学过程中发现，往往有些学生将两种不同的处理方法搞混淆了，导致重复运算，甚至导致错误。下面我分两种情况简单地介绍一元二次方程实根分布问题的充要条件及其运用。一．利用方程思想解决根只是对方程而言的，利用方程思想来解决问题，首先要找到明确的方程作为载体，如果没有方程，可构造方程。利用方程思想解题，首先，考虑根是否存在，即根的判别式。在根存在的情况下，其次，考虑两根之和与两根之积，即韦达定理。在根存在的情况下，设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx，按照跟的分布情况，将其分为两类：0—分布和k—分布1：0—分布一元二次方程根的0—分布，指的是方程的根相对于零的位置关系。包括：方程有一正根，一负根，有两正根，有两负根三种。通常有以下几种常见情况：（1）01x，02x000421212acxxabxxacb（2）01x，02x000421212acxxabxxacb（3）210xx0ac（4）○101x，02x0c且0ab；○201x，02x0c且0ab。例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2mxmxm有两个正根，求m的取值范围例2k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？2：k—分布一元二次方程根的k—分布是指1x，2x相对于k的位置关系k—分布是转化为0—分布进行处理的通常有以下几种常见情况：（1）21xxk212124000bacxkxkxkxk（2）kxx21212124000bacxkxkxkxk。（3）21xkx212400bacxkxk但是对于更多的k—分布，如：2211kxxk，221211pxpkxk，11xk2k，1k2x2k等，用方程思想处理起来，较为麻烦，这里，我们就可以用函数思想来解决。二．利用函数思想解决利用函数来解题，首先要找到函数作为载体，如果没有函数，可以构造函数。根据函数与方程的关系，方程的根与函数的零点是相互对应的，也即函数图象与x轴交点的横坐标，因此我们通常采用数形结合加以解决，即先根据题意的描述，将相应的函数草图画出来，再从图象中找到相应的代数条件。用函数来解题。我们首先要看图象开口，即二次项系数符号，再看对称轴，三看判别式，最后看特殊点，如：与x轴交点，与y轴交点，顶点等在根存在的情况下，设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx，并设方程对应的函数为2()(0)fxaxbxca，则上面方程思想处理的一些情况方法如下：（1）01x，02x220000224040(0)0(0)0aabbaabacbacff或图象如下：xy02ab1x2x0aO0c0xy1x2xO0c0a02ab0（2）21xkx00()0()0aafkfk或0)(kaf。图象如下：0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf（3）有且仅有11xk（或2x）2k112200()0()0()0()0aafkfkfkfk或0)()(21kfkf图象如下：xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf（4）221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa图略（5）2211kxxk122120240()0()0abkkabacfkfk或122120240()0()0abkkabacfkfk图象如下：xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2以上只是对一元二次方程根的分布一点浅显的看法