浅谈中学数学中的化归思想

1浅谈中学数学中的化归思想作者：中原中学刘继华不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。————波利亚化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。”路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。—、化归方法的基本思想1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容2易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法．2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映．3、化归方法的作用我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．例如(1)代数中解一般方程(或不等式)的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．(2)基本运算中也凝结着化归的思想：减法向加法化归，除法向乘法化归；幂的运算化归为指数的相加或相减；对数运算把乘法或除3法运算化归为加法或减法运算．(3)利用三角诱导公式可以化任意角的三角函数为锐角三角函数；化不同名(或角)的三角函数为同名(或角)的三角函数．(4)处理立体几何问题可以采用把空间问题化归为平面问题，复杂的图形化归为简单的图形．(5)解析几何在于把几何问题化归为代数问题来研究，而函数图象在于把代数问题化归为几何图形来讨论．在中学数学教学中，这样的例子很多，只要教师具有化归的思想意识深入钻研教材，挖掘和提炼中学数学内容的转化矛盾思想，有意识地加强化归方法的教学，对于改革目前重知识轻方法、重结论轻思想的教学现状，对于培养造就“发现”、“创造”型人材都具有十分深远的意义．二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单，化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单—”；化“高维”为“低维”等。为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则．化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则。1、熟悉化原则熟悉化是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟4悉”的问题，以便充分利用我们已知的知识和经验，使原问题得以解决．这里的“熟悉”，指的是已经能解决或具有既定解决问题的方法与程序．例1：证明不等式：(x1x2+y1y2+z1z2)2（x12+y12+z12）(x22+y22+z22)【思路】本题直接证明比较麻烦，从不等式的形式上可以观察出（x12+y12+z12）,(x22+y22+z22)是空间两点分别到原点的距离的平方，(x1x2+y1y2+z1z2)则具备了空间两向量内积的形式，这二者之间能否挂上钩呢？【解】设向量a=｛x1,y1,z1｝,b=｛x2,y2,z2｝，a与b的夹角为，又a·b=a·b·cos=212121zyx·222222zyx·cos(x1x2+y1y2+z1z2)2=（x12+y12+z12）(x22+y22+z22)·cos2（x12+y12+z12）(x22+y22+z22)这里采用构造两个空间向量把问题转化为向量的内积运算使问题顺利解决。学生如在平时的练习中多加注意的话，上述问题就在高二教材配套的练习册P28的第10题：原题为“若a，b是非零向量，a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,a与b的夹角为。（1）求cos；（2）证明（x1x2+y1y2）2（x12+y12）(x22+y22)；（3）若a与b为空间向量，你能推出怎样的不等式？”例2、已知是非零常数，对xR成立f(x+)=)(1)(1xfxf,问：f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由。5分析、周期函数使我们联想起熟知的三角函数，由f(x+λ)=)(1)(1xfxf发现与三角等式tg(x+4)=tgxtgx11相类似，而tgx是周期函数,它的最小正周期是π,是tg(x+4)=tgxtgx11中4的4倍,由此猜想f(x)是周期函数,一个周期为4解：f(x+2)=f(x++)=)(1)(1xfxf=)(1)(11)(1)(11xfxfxfxf=-)(1xff(x+4)=f(x+2+2)=-)2(1xf=-)(11xf=f(x)，所以f(x)是周期函数。2、简单化原则简单化就是把我们遇到的比较复杂的问题转化为比较简单的，且易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题得到解决．众所周知，复杂与简单是相对而言的，以二次方程为例，相对于一次方程来说，它是复杂形式；而相对于高次方程来说，它又是简单形式了．例3、作函数y=2)1x（+4x-9的图象分析、画函数图象的常规方法是将复杂函数转化成简单函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数、对数函数，三角函数），本题函数可转化为y=1x+4x-96yx-2AO=1,6214,44122xxxxx，，这样将复杂函数化成一次函数，其图象容易画出3、具体化原则具体化就是把比较抽象的问题化归成比较具体的问题，以使其中的数量关系和空间形式更为明确，更容易把握．例4、求函数y=(a-b)2+(23a+2142b)2的最小值分析、本题是关于二次函数的最值问题，如单纯用代数方法求解难以完成，由具体化原则，通过观察，发现y是两动点A(a,23a)与B(b,-2142b)的距离的平方，即y=2AB，因此问题化归为A,B两点之间的最短距离。而点A在半圆x2+y2=3(y）0上,点B在双曲线42x-y2=1(y0)上，由图象可知AB的最小值=11BA,A1(3,0),B1(2,0),所以11BA=2-3,ymin=11BA2=7-43.4、和谐化原则所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称．数学中的和谐表现在定义、定理、性质、法则以及数、式、形之间。和谐化就是使问题的表现方式更符合数、式与形内部固有的和谐统一的特点，以便突出问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系，y-4-63Ox3B-23A2Ay7帮助我们去确定解决方法和程序。例5、已知三角形ABC中，A=2C,求证：23bacb分析、为使问题简单化，先证c-a2b--------(1)。已知条件给的是角的关系，要证的结论是边的关系，为使条件和结论更为接近，联系更为紧密，应设法将二者统一起来（和谐化），把要证的结论等价地转化为2(sinC-sinA)sinB--------(2),而（2）式中角太多，再想办法化成同名角，由C=2A,B=-(A+C)=-3A，（2）式可化归为2(sin2A-sinA)sin3A-------(3),再把(3)式中的复角统一为单角，（3）式可化归为2(2sinAcosA-sinA)3sinA-4sin3A4cosA-23-4sin2A-------(4)，再将（4）式统一成同名三角函数（和谐化），（4）式化归为4cos2A-4cosA+104(cosA-21)20，因为此式成立，所以与之等价的（1）式成立。同理可证：〈3bc-a成立。三、化归方法的几种类型化归方法的类型很多，有的是把一个系统的问题化归为另一个系统中去解决，例如关系映射反演方法是通过恰当的映射使问题的领域从未知向己知化归；还有的属于在本系统内化归．中学数学中很多解题方法与技巧都统一在化归方法之下，例如，消去法是通过有限次的8恒等变形逐步消去一些元素，从而实现未知向已知的化归，拆补法是采取把待解问题的若干项分解或组合，从而实现化难为易的化归。1、变形法：（1）等价变形．等价变形是把待解的数学命题等价地化归为另一数学命题．比如，代数或三角中的恒等变形，方程(组)、不等式(组)的同解变换以及反证法、同一法都属于等价变形．除此之外的另—种常用手法，是将命题结论的形式加以适当改变，如代数、三角、几何领域间作转化和本领域内的转化。例6、已知log189=a,18b=5,求log3645。分析：此题利用对数恒等式化归，达到化未知为已知的目的。因为18b=5，所以log185=b,log3645=36log45log1818=918log)59(log21818=9log18log5log9log182181818=aba2例7、关于z的方程z+a1z+i=0在复数集内总有解，求实数a的范围。分析：复数方程有解的条件不易研究，但将复数方程化为实数方程可将问题化难为易、化暗为明。设z=x+yi,代入方程:x+yi+a22)1yx（+i=0,由复数相等的定义，命题等价为x+a22)1yx（=0,y=-1x+a1)1(2x=09a=-1)1(2xx在R上有解，又等价于求函数y=-1)1(2xx的值域。设x+1=tg,(-2,2)代入得y=-sec1tg，又转化为三角函数求值域。通过化弦y=cos-sin=2cos(+4),y2,1。（2）非等价变形．我们经常通过去分母将一个分式方程化归为整式方程，通过有理化将无理方程化归为有理方程．在这个过程中就有可能产生增根，引起解答失真，这里施行的就不是等价变换．这种对问题进行非等价变形，在解决数学问题时经常遇到，只要运用得当，注意防止“误差”，同样也可以取得成功，有时还能发挥等价变形所无法发挥的巧妙作用．例8、求证：1+)112(21413121nn分析、在不等式的证明中，常常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项之和变小（大），或在分式中放大或缩小分式的分子与分母而达到化归的目的。这种化归方法是依据不等式的传递性acacbb,而发展出来的，是不等价的转化思想的体现。因为),,2,1(),1(2121111nkkkkkkkkk故将上述n个不等式相加，即得求证式。2、分解与组合：波利亚说，分解与重新组合是重要的智力活动，对于很多问题特别是比较困难的问题，我们有必要把问题分解成几部分，然后试用某个新10ACA1B1C1A2B2C2方式重新组合其元素，使问题更易下手。这种化归方法是“化大为小，化繁为简”转化思想的体现。用分解与组合处理数学问题时，一般是先将待解问题适当分解成若干个有逻辑联系的、较简单的、熟悉的小问题，然后分别求解这些小问题，最后根据原问题的条件将这些小问题的解重新组合叠加起来，就得到原问题的解．分解与组合的主要特点是，将要待解问题先“化整为零”，分而治之，然后再“积