浅谈中考二次函数之图象问题

1浅谈中考二次函数之图象问题尤廷荣二次函数是初中教学的主干知识，也是中考重点考查的内容。各种题型中均易出现，大约占到%20左右的分值，选择题、填空题一般考查基础知识，较容易；而综合题中以二次函数为主干的则较灵活，除考查相关基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数型结合思想的运用能力及探究能力，多以压轴题出现，有一定难度。现就几例中考题，站在前人的肩膀上谈谈我对二次函数图象问题的一点拙见：一：二次函数不同解析式下的图象性质例1（09湖州）已知抛物线cbxaxy2(a0)的对称轴为x=1,且过点(-1,1y)，(2,2y)，试比较1y和2y的大小：1y＿2y（填“”“”或“=”）。解：设点(-1,1y)关于x=1的对称点为(3,3y)，所以1y=2y；∵a0,∴当x1时,y随x的增大而增大,∴3y2y,即1y2y评析：此题考查了对称性、开口方向、增减性等知识，因为两点不在对称轴x=1的同一侧，不能直接运用二次函数增减性质来判断，所以需根据二次函数对称性将其中某一点作关于对称轴对称的点，利用等效替换与二次函数的增减性便可判断大小。二次函数图象性质的考查多以基础题出现，一般难度不大，此题考查了二次函数的一般形式，另外顶点式与交点式的对称轴、开口方向、增减性以及顶点坐标等也需注意。具体的可由下表得出：二次函数形式开口方向对称轴顶点坐标cbxaxy2a0开口向上a0开口向下x=-ab2(-ab2,abac442)khxay2)(x=h),(kh))((21xxxxayx=221xx(221xx,2214)(xxa)开口大小：1）︱a︱越大，抛物线开口越小2)︱a︱越小，抛物线开口越大函数最值：1）a0时二次函数有最小值，为顶点坐标的y值2）a0时二次函数有最大值，为顶点坐标的y值增减性质：1）a0时对称轴左侧y随x的增大而减小,对称轴右侧y随x的增大而增大2）a0时对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小二：二次函数cbxaxy2的图象特征与a﹑b﹑c及之间的关系例2（09孝感）小明从如图所示的二次函数cbxaxy2的图象中得到了下面五条信息：（1）c0;(2)abc0;(3)a-b+c0;(4)2a-3b=0;(5)4a+2b+c0你认为其中正确的个数有（）2A2个B3个C4个D5个解：∵图象与轴负半轴相交∴c0；∵图象开口向上∴a0；又∵对称轴在y轴右侧∴b与a异号∴abc0；∵x=-1及x=2时图象均在y轴上方∴a-b+c00，4a+2b+c0;∵-ab2=31∴2a-3b=0且a﹑b≠0∴2a+3b≠0∴（1）（2）（3）（5）正确答案：C4个评析：此题主要考查了对称轴位置、开口方向、图象与y轴交点等与a﹑b﹑c及acb42的关系，解答时要注意数型结合。根据二次函数图象确定有关代数式符号是二次函数考题中一类典型的数形结合问题，需要一定的数形结合思想的运用能力。此类题型主要考查二次函数图象特征与a﹑b﹑c及的关系，具体的可由下表得出：参数参数符号图象特征aa0开口向上有最小值a0开口向下有最大值bb=0对称轴为y轴-ab2=0ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧-ab20ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧-ab20cc=0经过原点二次函数解析式：bxaxy2c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交acb42acb42=0与x轴有唯一交点:(ab2,abac442)acb420与x轴有两个交点:aacbb242acb420与x轴没有交点图象在x轴的上方或下方注：二次函数cbxaxy2过点（1，a+b+c）﹑(-1,a-b+c)此外，解答该类题型时还需注意的是给出符号之间的一些关系，让考生判断图象特征并选择图象以及判断并确定a﹑b﹑c之间的关系是也是常考题型，如上题的确定“2a-3b”是否为“0”以及给出解析式或者一些点求类似于“a+b+c,a-b+c，4a+2b+c”这样的值的问题，这就需要考生根据对称轴的值以及函数图象和解析式来加以判断确定了，总的来说就是要能够灵活运用图象特征与a﹑b﹑c及的关系。三：二次函数图象的平移问题3例3（09兰州）已知2axy的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴﹑y轴分别向上﹑向右平移2个单位，求在新坐标系下抛物线的解析式。解：原抛物线顶点为（0，0），新坐标系下顶点为(-2,-2),所以新坐标系下抛物线解析式为2)2(2xay评析：二次函数的平移不改变开口方向及大小，只改变图象位置，由于此题只需顶点坐标即可确定解析式，所以只需确定旧坐标系下顶点继而平移得到新坐标系下顶点，再把解析式写成顶点式khxay2)(即可，其中),(kh是顶点坐标；再者，对于该类型的平移可看成坐标系不动，将抛物线分别水平向左﹑向下（与平移坐标的方向相反）平移2个单位。平移题型常考的除了像此题一样平移坐标外还有平移x与y的，其平移规律是“左加右减，上加下减”，具体的可由下表得出：原函数2axycbxaxy2x变换h0向右平移h个单位h0向右平移h个单位h0向左平移︱h︱个单位h0向左平移︱h︱个单位x变换后的函数2)(hxaychxbhxay)()(2y变换k0向上平移k个单位k0向上平移k个单位k0向下平移︱k︱个单位k0向下平移︱k︱个单位y变换后的函数kaxy2)(2kcbxaxyx﹑y同时变换所得函数khxay2)()()()(2kchxbhxay若原函数为khxay2)(﹑)()()(2kchxbhxay形式，目标函数为2axy﹑cbxaxy2，则平移规律为“左减右加，上减下加”即按上述规律的相反方向平移即可。总评：二次函数及其应用是初中代数中的重要内容，与整个初中的代数、几何知识有着十分紧密的联系。新课标内容要求改动较大，更注重二次函数的应用知识，强化了二次函数的最大（小）值，如二次函数与其它知识（方程、三角形、四边形、圆等）联合的综合性题目，中考试卷的压轴题常以它作为主干知识，并将几何图形与函数的图象有机结合，综合性强，难度系数也较大，但一般都是两到三个小题，难度逐渐递增，为此我们可以采取“保证中易分，争取难度分”的得分策略，逐步得分。二次函数在中考中一直是个经典不息的考点，每年总会有一些新颖的题目出现以便考查学生的综合素质。复习中我们就要抓住二次函数不同解析式下的图象性质、二次函数cbxaxy2的图象特征与a﹑b﹑c及的关系、二次函数图象的平移问题等基础知识以之应对日新月异的中考。