浅谈函数概念的教学和一些应用论文初稿

1/11四川省高等教育自学考试专业本科毕业论文（初稿）题目：浅谈函数概念的教学和一些应用指导教师：_________周思波________准考证号：_______150207200514__考生姓名：_____程伟_______巴中市（地、州）巴州县（市、区）工作单位：____________无____________写作时间：____2012.1---2011.2.5_____2/11浅谈函数概念的教学和一些应用指导老师：周思波作者：程伟准考证号：150207200514【内容摘要】：本文通过对函数概念的理解和梳理，归纳出函数概念在中学的教学及其函数的一些应用。【关键词】：函数的概念定义域值域函数的应用前言：函数概念是中学数学的基础，也是重要内容。从概念上把握函数，不仅可以彻底理解函数，而且有助于函数定性的分析和以后的数学学习，函数概念是中学课程中的重要内容，基础内容，因此它在理论上有着重要的地位，特别是在它的应用上。本文只通过对函数的概念理解，简单地归纳出函数在中学中的一些简单的应用。一：函数的概念的学习是其他特殊函数及以后数学学习的基础函数是反映客观世界数量关系和变化规律的一种重要模型，它的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容。学生对函数产生理性认识应该基于函数概念的学习。函数概念的形成与发展经历了漫长的过程，正如其形成与发展的历史一样，学生对函数概念的认识与理解也是漫长与曲折的。在中学的数学教学中，应正确引导学生认识与理解函数概念且灵活地应用函数。在整个中学数学学习阶段中，初中阶段讲述了函数的概念及几种特殊的函数（如：一次函数，反比例函数，二次函数），而在高中数学学习的阶段又在次讲到函数的概念，也讲了一些特殊函数（如：指数函数，对数函数，三角函数等），在初中和高中这两个阶段中都讲了函数的概念，但是这两阶段对函数概念的严密性的处理不太一样，作为中学教师有必要在高中阶段讲述中区别一下这两个阶段函数概念的严密性，有助于高中学生在此学习函数时的一个深刻理解，就不让学生感到“初中已经学习了函数，高中为什么又要学习函数”的谜团之中。下面对中学的两个函数概念的教学做一个区别：看看初中的函数概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是应变量。相应高中的函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．在教学中，有必要区分相同和不同之处，有助于学生理解。在这两个概念中，相同之处：①在A集合（自变量集合）的任意一个元素x，即A集合的每一个元素必须对应完，元素的任意性；②在B集合中（应变量集合）都有唯一确定的数f(x)，B集合中元素的唯一性，即是每一个A集合中的元素，B集合中有且只有一3/11个元素与之对应，但是B集合中的元素不一定对应完；③都有一定的对应关系不同之处：①初中用y，而高中用f(x)，但没有实质上的区别，只是突出了应变量与自变量的对应关系，还可以用其他的，如：h（x），g(x)等；②在高中阶段强调的是A,B为非空的集合。③A,B集合必须为数集。在这两个概念中，按照初中的定义，有些则不满足函数的概念，而符合后面的映射的定义，这也说明函数是特殊的映射，映射未必是函数。老师用以区分的讲解这些内容有助于学生再次学习函数而不被有所困惑，便于理解。而一次函数，反比例函数，二次函数以及高中的指数函数，对数函数，三角函数等都是建立在对函数的概念充分的理解上学习的，弄懂了函数的概念，更有助于学生对这些特殊函数的认识，以加以学习。二函数概念中的三要素和函数概念中的定义域一些常用的求法1.函数概念中的三要素在两个函数概念中，初中概念中，x叫自变量，y叫因变量，而在高中x的取值范围用集合表示叫做定义域A，与x对应的y值的取值范围用集合{f(x)|x∈A}表示叫做值域C，这两种叫法没有实质上的区分，只是用没用集合表示没有而已！在高中的教学中要特别的提到，在函数的定义中，用的是B集合，而这里值域我用的是C集合，因为B集合不一定是值域，只有A集合中的元素x对应的y值组成的集合才是值域，而B集合中的元素有可能没有对应完，所以B集合不一定是值域，即值域C是集合B的一个子集；讲了函数的定义域和值域，在概念中另一个重要的元素就是对应法则，函数的对应法则可以是解析式，图像以及列表，在初中教学中不怎么谈到解析式的求法，在这里着重谈谈解析式的一些求法，如下：(1)：拼凑法拼凑法不是对所有题型都能行，而且能行的题目中也要求学生对数学基础掌握比较好，才用此方法，一般不用。（拼凑法拼凑成相同的形式，利用整体的思想）例：已知函数f（x2+2）=x4+x2+2x∈R,，求解析式f(x).解析：已知f（x2+2）=x4+x2+2x∈R,所以f（x2+2）=x4+x2+2=x4+4x4+4-3x2-6+4=(x2+2)2–(x2+2)+4在这里把x2+2整体当成m所以f(m)=m2-3m+4即f(x)=x2-3x+4x∈R,(2):换元法换元法是将函数方程中的变量进行适当的换元，使得到一个新的函数返程，在与原方程构成一个方程组，然后解此方程组可求出原方程的解，但是注意在换元的过程中也许是函数的定义域发生了变化，需通过验证证实。例：设F(x)是除x=0以及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，4/11并且F(x)+F(xx1)=1+x，求f(x)解析：以题目中的xx1代x得F(xx1)+F(x11)=xx12……①在①中，以x11代x得F(x11)+F(x)=xx12……②由原题目方程以及①，②消去F(xx1)，F(x11)得F(x)=)1(2123xxxx(x≠0,x≠1)(3)：待定系数法待定系数法主要用于解决多项式函数，那么我们可能确定多项式函数的次数，写出它的一般表达式，然后根据已知条件，利用多项式等条件确定系数，求出多项式函数。例：设n次多项式函数满足f(k)=1kk,(k=0,1,……n)。求f(n+1)解析：由题设有：（k+1）f(k)-k=0(k=0,1,……n)设n+1次多项式为F(x)=(x+1)f(x)-x……①F(x)的n+1个根x=0,1,……n于是F(x)=ax（x-1）（x-2）。。。（x-n）……②其中a为待定系数在①②中令x=-1，得1=a(-1)n+1(n+1)！所以a=)!1()1(1nn故f（x）=11x[)!1()1(1nnx(x-1)(x-2)…(x+n)+x]从而f(n+1)=21n[(-1)n+1+(n+1)]1（n为奇数）=2nn(n为偶数)5/11函数的解析式的求法颇多，上面只介绍这几种中学常用的求法。比如还有递归法，赋值法，数学归纳法，反证法，，不动点法等等，这些不常用的求法，对于基础好的学生可以加以课后补讲，对于基础稍差的适当处理，让学生尽量提高自己。在上面谈到了定义域，对应法则，值域，这三者就是函数的三要素，而往往在确定一个函数时，不是函数的三要素都齐才能确定一个函数，例如在证明初中证明全等三角形时，三角形六要素，而只要了三要素就可以证明三角形全等，在这里确定一个函数时，定义域和对应法则确定了，函数也就确定了，因为值域由定义域和对应法则确定，这也是确定两个函数是否为同一函数的依据。例：f（x）=x与g（x）=就是同一函数（x∈R,f（x）=g（x）=x），而f(x)=x0与g(x)=1就不是同一函数，在这两个函数中，对应法则化简都一样，而f(x)=x0定义域为(x|x≠0,且x∈R)，而g(x)=1的定义域为x∈R,,因为定义域不同，所以不是同一函数。2．函数概念中的定义域一些常用的求法在中学函数概念教学中，在初中已经提及了自变量的取值范围的求法，在高中阶段有更加深层次的要求，在做函数题目时定义域先行，所以这里总结一些中学求定义域的一些常用求法（1）在一个函数的解析式中，有分母则分母不能为零。（2）在一个函数的解析式中，偶次根式下的解析式为非负数。（3）在一个函数的解析式中，零次方幂底数不能为零。（4）在一些实际问题中，定义域要满足题设所需。（5）在一上几种的综合函数解析式中，分别求然后取求出来的交集。（6）下面着重谈谈无解析式的函数定义域的求法，在谈无解析式的定义域的求法时先强调一点，对于函数y=f(x)的定义域是指f(x)中的x的取值范围的集合，而不是指像x2等什么的取值范围的集合，如y=f(x2)中的定义域是指的x的取值范围的集合，而不是指x2的取值范围的集合。例1.已知函数y=f(x)的定义域为[2,4]，求y=f(x2)的定义域。解析：因为y=f(x)的定义域为[2,4]即2≤x≤4而y=f(x2)中的x2的相当于y=f(x)的x，（也可以还原一下，即m=x2即y=f(m)）所以2≤x2≤4所以x∈[-2,-]U[,2]所以y=f(x2)的定义域为[-2,-]U[,2]例2．已知函数y=f(x2)的定义域为[2,4]，求y=f(x)的定义域。解析：因为y=f(x2)的定义域为[2,4]即2≤x≤46/11而y=f(x)中的x的相当于y=f(x2)的x2所以在y=f(x2)中2≤x≤44≤x2≤16即在y=f(x)中4≤x≤16（注：也可以用还原的思想）所以y=f(x)的定义域为[4,16]上面两个例子无解析式求定义域容易使学生困惑，所以尽量让学生多加练习多家体会，已达到熟能生巧的地步。三函数概念中值域的一些常用求法在函数概念中，y的取值范围即值域，学生初次接触求值域，很容易与求定义域混淆，又加上值域的求法也是中学函数概念中的重要内容，所以下面归纳一些中学可能用到的常用求值域的方法。1．图像法通过做出函数的图像草图得到求值域的方法例：求函数y=2x2-4x+1(0≤x≤3)的值域。解析：y=2x2-4x+1=2(x-1)2–1(0≤x≤3)依据函数的图像可得，当x=1时，ymin=-1;当x=3时ymax=7，所以该函数的值域为[-1,7].2.分离常数法形如)0(cddcxbaxy的函数均可由此法求得值域。例：求函数11xxy的值域。解析：函数的定义域为{x│x≠-1且x∈R}12112)1(11xxxxxy因为而12x≠0所以y≠1即值域为{y│y≠1且y∈R}用此方法做题时要注意自变量x的广泛性如：x为x2,ax,logax…等等。3.反函数法利用函数和它的反函数定义域与值域互逆的关系，通过求反函数的定义域而得原函数值域。例：求函数11xxeey的值域。解析：由11xxeey得011,0;11yyeyyexx所以因为所以函数的值域为y∈(-1,1)注意：形如)0(cddcxbaxy的函数也可以用此种方法求值域。一个题型的方法是多样的。当然也应注意自变量x的广7/11泛性如：x为x2,ax,logax…等等。4．判别式法把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根即判别式大于等于零，求得值域的一种方法。形如)0(2''2'egfxexcxbxay且定义域必须为Ｒ的函数可由此法求解值域。例：求函数1342xxy的值域解析：由1342xxy可得0342yxyx。(1)当y=0时.43x；(2)当0y时.410)3(416,yyyRx所以因为所以综上可得所求值域为[-1,4]。5.换原法运用换元手段将函数化成值域易求的另一函数，进而求其值域。形如)0(acdcxbaxy的函数示值域常用此法。例：求函数12xxy的值域。解析：令)0(12ttx则.)1(2121,21222tttytx所以易得).,21[y所以所求函数的