浅谈定积分的计算

1浅谈定积分的计算数学与应用数学101班：李阿妮指导老师：连铁艳(陕西科技大学理学院陕西西安710021)摘要：定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题。它在许多实际问题有着广泛的应用。下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法。但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解。针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明。关键词:定积分，被积函数，原函数，牛顿-莱布尼兹公式DiscussionOnTheCalculationOfDefiniteIntegralABSTRACT:thedefiniteintegralisoneofthebasicproblemsinmathematicalanalysis,andcalculationofthedefiniteintegralisthemostbasicandmostimportantproblem.Itiswidelyusedinmanypracticalproblems.Followingadetailedsummaryofthecalculationmethodforthedefiniteintegral,includingthecommonbreakdownofintegral,integralmethod,integrationbysubstitution,subsectionintegralmethod.Butitcannotdirectlyfindoutthedefiniteintegraloftheoriginalfunction,ortheintegrandiscomplex,isoftendifficulttoobtaintheoriginalfunction,whichcannotbeusingNewton-Leibnizformulaforsolution.Inthiscase,thispapersummarizestheapplicationofEulerintegralsolutionofdefiniteintegral,residueintheapplication,thecleveruseofintegralsolutionofdefiniteintegral,doubleintegralofinversefunctionsolutionofdefiniteintegralandtheTaylorformulawithintegralremaindertermintheintegralonthelist,andthecorrespondingexamplestoillustrate.KEYWORDS:integral,integralfunction,theoriginalfunction,Leibnizformula1引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础。本文归纳总结了常见的定积分计算方法，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法。另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解。针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法。对此本文总结了一些另外的方法，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重2积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明。2定积分的计算方法2.1分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则，其中，是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法。例2-1计算定积分解：利用加减一项进行拆项得===+=++.=2.2分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点。例2-2计算定积分解：由于为偶函数，在上的分界点为，所以=+3==2.3换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-3计算定积分解：======2.3.2第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换；④倒替换。下面以三角替换为例介绍此方法：例2-4计算定积分解：由于=，故可令，于是===4======2.4分部积分法定理：若，在上连续，则或。例2-5计算定积分解：于，所以==连续使用分部积分得====2.5留数在定积分计算上的运用例2-6计算积分解：令，则，，5======2.6巧用二重积分求解定积分例2-7计算积分解：因为，所以===故。2.7带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用定理：若函数在点的领域内有连续的阶导数，则，有+，其中称为积分型余项。6例2-8计算解：设，则===3总结语本文归纳总结了定积分计算方法,其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法、分部积分法、用欧拉积分求解定积分，运用留数计算定积分，巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用等，进行了一一列举，并通过例子加以说明。参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析（上，下）[M].高等教育出版社，2001[2]复旦大学数学系编.数学分析（上，下）[M].高等教育出版社，1985[3]钱吉林等主编.数学分析题解精粹[M].崇文书局，2003[4]B.EMBEDEquation.3吉米多维奇.数学习题集[M].李荣冻译，人民教育出版社，1978