浅谈微积分

浅谈微积分的课堂教学陕西咸阳中学董红兵课本微积分的内容包括导数和定积分的概念以及它们在实际问题和数学问题中的应用，课本通过大量实例，首先分析生活中常见的变化快慢问题的数学本质就是函数的变化率问题，然后揭示了平均变化率与瞬时变化率的内在关系，进而给出导数概念和它的几何意义，对于定积分概念，课本通过分析一些来自不同背景的问题的思考过程，如曲边梯形面积问题、变速直线运动的路程问题、变力做功问题等，然后揭示出解决些问题过程中的数学本质，从而给出定积分的概念。课本的导向是既要运用导数和积分中的基本知识和结论解决一些简单的问题，同时能够用形成这些概念过程中的思想方法来分析和解决一些问题。引导学生阅读材料“数学史上的里程碑------微积分”，让学生了解微积分对于人类文明史的意义，感悟到为微积分的发展而作出突出贡献的科学巨人们的独特魅力“学数学而不做题，犹如入宝山而空手归”（华罗庚先生语），可以通过随堂巩固的练习，课后作业的习题和单元总结阶段进行整体复习和检测自我学习状况的复习题。让学生体会微积分，应用微积分。在教学过程中通过一些司空见惯的如“速度”“密度”“面积”等概念用极限思想进行的研究和取得的对它们的新认识，体会到数学思想方法在人类认识世界过程中的重要性和产生的力量，体会到科学探究的永无止境，从而激发学生的好厅心。通过求速度等问题抽象成一般函数的变化率问题、求面积问题抽象为定积分的概念的过程，让学生认识到数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。中学学习微积分并不是要学习以严格的极限的形式化定义为基础的微积分的学科体系，而是定位为体会导数概念解决的问题，从中领会微积分简单而朴素的思想，这是微积分的本质；理解导数的基本思想和应用微积分方法解决一些简单问题与形成微积分的学科体系是不同的。在教学设计上，我们通过对大量具体问题的分析，动手实践活动让学生理解基本概念，体会逼近的过程，感受逼近的思想，经历导数概念建立的过程，理解微积分的基本思想。教学中可以借助于信息技术。特别提示这些过程中蕴涵着微积分思想的精髓，可能花费比较多的时间，但是从长远来看，对于理解概念的本质和促进三维目标的同步发展是值得的。这里我们倡导学生自主学习。微积分，被恩格斯称为“人类精神上的最高胜利”。首先表现在微积分方法一经提出，就产生了巨大作用，一些过去困扰实践和科学研究、只有少数大数学家潜心研究通过特殊方法才能解决的诸多问题，如求速度问题、曲线斜率问题在、面积问题等，一个接受过微积分基本训练的学生便能轻松解决，从中学生体会到用微积分方法处理中学数学中的一些问题的简便，如：函数的单调性研究、最大（小）值问题、最优化问题、求面积等，使学生感受微积分方法的有效性和一般性。从学生个体来说，通过对蕴涵于知识形成过程中的这些思想方法的领会，可以开阔数学视野，发现世界内部的和谐，提高数学思维能力。数学家胡塞尔说：“数学的美在于其实用性”，教材P35例5探究，例1函数y=2x3在点（1，2）处的切线y=6x-4与曲线y=2x3有几个公共点？解：由y=6x-4y=2x3得2x3-6x-4=0解得x=1或x=-2所以，直线y=6x-4与函数y=2x3的图象相交于（1，2）和（-2，-16）由此，启发学生，这里的切线与初中所学的圆的切线一样吗？深思达成共识：（1）曲线的切线不再是“圆的切线”的定义。（2）曲线的切线定义是借助极限来完成的，它揭示了曲线的一个局部的性质：切线和曲线在P点的附近只有一个交点，而没有描述在远离P点的地方切线与曲线的交点情况。让学生做课本的主人，在教学中只有“深入”才能“浅出”，提倡开发一些学生身边的实例，比如身高在某一瞬间的增长速度、雨后春笋的生长速度、化学反应速度等。这些例子可能难以进行细致的数量化研究，但是对于发展学生的导数意识，认识到导数在身边的广泛存在性将会具有非常重要的作用，信手拈来的教学资源是最好的资源。例2某圆柱形容器的底面直径为m2，深度为m1，盛满液体后以sm301.0的流量放出，求液面高度的变化率。解：设液体放出ts后的液面高度为hm。则由题意，得th01.011122解得th01.011000t所以液面高度的变化率为01.001.01th数学与物理例3如图,质点P在半径为m1的圆上沿逆时针方向作匀速运动,角速度为srad1,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度分析:要求时刻t时M点的速度,首先要求出点M在y轴上的运动方程,它是关于t的函数,再对t求导,就可得M点的速度.解:srad1角速度为ttPOAt1,时时刻radtPOAMPOradtyMsin的运动方程为点ttyvcossin即时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度为tcossm通过微积分的学习使学生学会数学思考的一种方式,微积分来源于生活，服务人类，并为人类的生存而丰富多彩.