浅谈抽象函数问题的复习

1浅谈抽象函数问题的复习抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略。1、定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。材料一：若函数)1(xfy的定义域为)3,2[，求函数)21(xfy的定义域。解析：由)1(xfy的定义域为)3,2[，知1x中的)3,2[x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(]31,(x。所以函数)21(xfy的定义域为),21(]31,(总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21x的范围等同。2、值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。材料二：若函数)1(xfy的值域为]1,1[，求函数)23(xfy的值域。解析：函数)23(xfy中定义域与对应法则与函数)1(xfy的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(xfy的值域也为]1,1[。总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)1(xfy与2)1(xfy的图象关于（）A、直线0y对称B直线0x对称C直线1y对称D直线1x对称解法一（定义证明）：设点),(00yxP是函数)1(xfy的图象上的任意一点，则)1(00xfy，),(00yxP关于直线mx的对称点为),2(00/yxmP，要使点),2(00/yxmP在函数)1(xfy的图象上，则)21()]2(1[000mxfxmfy，应有121m，故1m，所以函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于直线1x对称。解法二（图象变换法）单位，得到)1()]1([xfxfy的图象。如图所示，选D。解法三（特值代入法）：由已知可得点))1(,0(fP在函数)1(xfy的图象上，点))1(,2(fQ在函数)1(xfy的图象上，又点P、Q关于直线1x对称，选D。总结：了解一些简单结论对图象；由函数)(xfy的图象关于y轴对称得到函数)(xfy的图象，再向右平移1个解题也是很有好处的。如：函数)(xfy满足)()(xbfxaf，则函数)(xfy的自对称轴为2bax；函数)(xafy与)(xbfy的互对称轴为xbxa，即2abx4、周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设)(xfy是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x对称。证明)(xfy是周期函数。3证明：由)(xfy的图象关于直线1x对称，得)()2(xfxf，又)(xfy是定义在R上的奇函数，所以)()(xfxf)()2(xfxf，则)()]([)2()]2(2[)4(xfxfxfxfxf由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，)()(xfTxf,)(1)(xfTxf均可断定函数的周期为2T。5、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。材料五：已知)(xfy是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的Rba,，都满足：)()()(abfbafbaf。判断)(xfy的奇偶性，并证明你的结论。解析：令1ba，则)1(1)1(1)11(fff，得0)1(f；令1ba，则)1()1()1()1()]1()1[(fff，得0)1(f；令1a，xb得)1()()1(])1[(fxxfxf，得)()(xfxf因此函数)(xfy为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。6、单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。材料六：设)(xfy是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的]1,1[,ba，当0ba：由函数)(xfy的图象向右平移1个单位得到函数)1(xfy的时，都有：0)()(babfaf。若ba，试比较)(af与)(bf的大小。4解析：)]([)()()()()()()(bababfafbfafbfaf，ba，0ba，又0)()(babfaf，0)()(bfaf，即)()(bfaf。总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)()(12xfxf（或1)()(12xfxf）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。7、可解性：由抽象式求解析式问题——视)(xf为未知数，构造方程（组）。材料七：设函数)(xf满足xxxfxf1)1()(……①)10(xx且，求)(xf。解析：以xx1代x，得xxxfxxf12)11()1(，……②以11x代x，得12)()11(xxxfxf，……③①+③-②得：xxxxxxf12121)(2所以)1(21)(23xxxxxf)10(xx且总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(xf，将其余的式子替换成)(xf，构造一个或几个方程，然后设法求解。8、凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。材料八：如图所示，)(xfi)4,3,2,1(i是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x和2x，任意]1,0[，)()1()(])1([2121xfxfxxf恒成立”的只有（）A、)(1xfB、)(2xfC、)(3xfD、)(4xf5解析：令21，则不等式变为2)()()2(2121xfxfxxf，可知函数)(xfi是一个凹函数，故只有)(1xf正确，选A。总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。